George Cantor (1845-1918 ) demostró en 1878 que una linea y un cuadrado tienen el mismo número de puntos, aunque no de manera continua. Así que surgió la pregunta natural: ¿puede conseguirse que una curva continua rellene todo un cuadrado?

Guiseppe Peano (1858-1932) fue el primero en demostrar que estas curiosas curvas existen. Su primer ejemplo lo encontró en 1890. La curva se obtiene como el límite de curvas que van rellenando homogéneamente todo el cuadrado (de hecho, es de naturaleza fractal).  Veamos los primeros 4 pasos:

Curva de Peano (Fuente: Wikipedia)

A esta curva le siguieron muchas curvas interesantes como la que propuso David Hilbert (1862-1943):

Curva de Hilbert (Fuente: Wikipedia)

Para dibujarla, tomamos el cuadrado unidad y lo dividimos en cuatro partes iguales. Luego unimos los centros de los mismos con una curva como se muestra en figura de la izquierda (orden 1). Haciendo este procedimiento repetidas veces obtendremos la curva:

¿ Se podría rellenar un cubo unidad con la curva de Peano o la de Hilbert? La respuesta es afirmativa. Pueden verse los siguientes enlaces Peano 3D, Hilbert 3D

Enlaces:

Applet con plantillas para dibujar algunas curvas de Peano.

Referencia: Hans Sagan, Space-Filling Curves, Springer-Verlag, New York, 1994. ISBN: 0-387-94265-3.

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Curvas de Peano en tratamiento de imágenes