Juegos topológicos

Clasificación de superficies

Posted on: enero 3, 2009

La clasificación de superficies (compactas y conexas) es un resultado famoso de topología. Antes de adentrarnos en su demostración os describiré el enunciado junto a las personas que han contribuido a su prueba.

En 1870 August Möbius clasifica las superficies orientables (es decir aquellas que no contienen una cinta de Möbius o equivalentemente poseen doble cara). Éstas son la esfera y la suma conexa de toros:

La esfera, el toro, el doble toro y el triple toro.

La suma conexa de dos superficies se obtiene empalmándolas como indica la figura anterior. El número de toros empleados en dicha suma o ensamblaje se denomina género de la superficie. La esfera tiene género 0, ya que puede considerarse como la suma conexa de cero toros. Además es el elemento neutro de esta operación entre superficies que resulta ser conmutativa y asociativa (donde “igualdad” entre superficies significa “homeomorfismo”).

Por otro lado, toda superficie no orientable es suma conexa de planos proyectivos. En este caso, el número de planos proyectivos empleados es el género de la superficie.

El bonete cruzado (plano proyectivo), la suma conexa de dos bonetes (botella de Klein) y la de tres bonetes. Todas lasa superficies no orientables son de este tipo.

La primera superficie es el plano proyectivo (género 1 por definición) en su modelo de bonete cruzado, la segunda es la botella de Klein que tiene género 2, etc.

Esta clasificación fue anunciada en 1888 por W. von Dyck, aunque dando una prueba incompleta. En 1907 M. Dehn y P. Heegard confirman esta clasificación, bajo la hipótesis de que todas las superficies se pueden triangular. Y finalmente T. Radó prueba en 1925 que toda superficie es triangulable, lo que completa el teorema de clasificación.

La demostración de que toda superficie se puede triangular utiliza una versión fuerte (debida a A. Schönflies) del teorema de la curva de Jordan (véase la entrada esfera cornuda de Alexander).

En el PDF Clasificación topológica de superficies damos una idea de la demostración, incluyendo la clasificación de las superficies con borde, usando la característica de Euler.

Referencia:

Classification of Surfaces de Zbigniew Fiederorwicz.

About these ads

3 comentarios to "Clasificación de superficies"

[...] estudiar sus propiedades, clasificarlos, etc. Esto lo veremos pronto cuando clasifiquemos las superficies compactas: Una superficie triangulada es compacta si está formada por un número finito de [...]

En la entrada Juego con tiras de papel explico cómo clasificar dos superficies con borde:

http://topologia.wordpress.com/2010/09/16/juego-con-tiras-de-papel/

[...] Las matemáticas y el arte van unidas de la mano. En concreto, la topología de superficies se ve representada en fantásticas esculturas de metal, madera, etc.. Por supuesto, cada superficie tiene una topología que puede determinarse, gracias al teorema de clasificación de superficies (puede consultarse también esta entrada). [...]

Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

Stats

  • 523,672 Visits

Síguenos en

Google translator

Sierpinski carpet project

Juego alicatado con hilos.

String art project

1ª mención de honor Matemáticas 2012

Mago Moebius: Geometry and magics with soap bubbles

Show de magia, matemagia, humor y fantasía, adaptado a todos los niveles.

3D POLYFELT – POLIFIELTROS 3D

NUESTRO JUEGO EDUCATIVO MÁS POPULAR

Primer Premio en Matemáticas 2013

Nuestro blog participa en

HA SIDO GANADOR EN DOS EDICIONES

PREMIADO EN ENFOCA 2012

Elegida foto del mes en Divulgamat, y segundo premio Enfoca 2012, en Facebook.

Red Española de Topología

Cibermentor de la asociación

Colaborador del EPFL Mathematical Humanitarian Project

Enlaces

Escribe tu dirección de correo electrónico para suscribirte a este blog, y recibir notificaciones de nuevos mensajes por correo.

Únete a otros 61 seguidores

Actualizaciones de Twitter

A %d blogueros les gusta esto: