Juegos topológicos

La esfera cornuda de Alexander

Posted on: enero 23, 2009

(Artículo publicado en el Boletín de la Titulación de Matemáticas de la UAL, Volumen 2, número 2, con pequeñas adaptaciones al blog.)

A finales del siglo XIX, Camile Jordan enunció el famoso teorema que lleva su nombre:

Toda curva cerrada simple contenida en el plano separa al plano
en dos regiones conexas, una acotada y otra no acotada.

Este resultado apareció en la primera edición de 1893 de su libro “Cours d’Analyse de l’École Polytechnique”, aunque la demostración correcta se publicó en la edición de 1908, y se debe a Oswald Veblen basándose en ideas de Jordan y de Schönflies.

curva-jordan

En la primera imagen tenemos una curva cerrada simple. Ésta puede verse como una deformación de una circunferencia pensada como si fuera de goma elástica y que puede estirarse y doblarse por donde se quiera, sin que lleguen a tocarse dos partes de la misma. Para saber si un punto está dentro o fuera basta trazar una línea desde el punto hacia afuera del todo y contar el número de puntos de corte con la curva. Dependiendo de si ese número es par o impar, ¿podrías deducir cuando el punto está dentro o fuera? En la segunda imagen vemos el interior de la curva como un disco deformado.

Arthur Schönfiles precisó la forma que deben poseer las dos regiones separadas del Teorema de la curva de Jordan: «la región acotada o interior es como un disco deformado, y la no acotada o exterior es también como el exterior del disco, pero deformado».

Pocos años más tarde, en 1912, Luitzen. E. J. Brouwer, demostró que toda esfera deformada en el espacio euclideo R^3 debía separar a éste en dos regiones una acotada o interior y otra no acotada o exterior (lo mismo valía para esferas de dimensiones superiores). Sin embargo, quedaba sin resolver la forma precisa de dichas regiones, al menos de la exterior, y sobre esta cuestión centraremos el resto del artículo.

Expliquemos antes qué entendemos por una esfera deformada: Para ello, nos imaginamos una pelota fabricada de goma elástica (o plastilina) y comenzamos a retorcerla y a estirarla con cuidado de no rasgarla, ni agujerearla. Tampoco podemos pegar ningún trozo de ella consigo misma, evitando así la posibilidad de que haya asas como las de una taza de café. Es lo mismo que teníamos antes con una circunferencia de goma elástica pero ahora con una pelota.

Lo que nos interesa saber es si el exterior de la pelota deformada ha cambiado o, mejor dicho, puede cambiar. Sorprendemente podemos lograr que el exterior cambie su forma, es decir, que no sea una deformación del exterior de la pelota de partida. Hay un método rápido y sencillo que nos permite asegurar que el exterior ha cambiado de forma, que nos sirve para detectar “asas”, y es mediante el uso de “lazos”, como los que usan los vaqueros. El exterior de la pelota deformada habrá cambiado si se puede pillar la con un lazo, sin que pueda soltarse.

Observad que una pelota normal es imposible pillarla con un lazo (si por casualidad hemos pillado a la pelota por su ecuador, basta aflojar el nudo corredizo del lazo para que se suelte). Si a la pelota de goma le sacamos dos cuernos, por ejemplo, el lazo podría pillarla, tal y como se muestra en la figura, pero como entre los cuernos hay un hueco, el lazo puede escaparse sin problemas. Desde luego, no está permitido que los cuernos se toquen, eso no vale.

Una pelota normal y una pelota deformada con dos cuernos. Ninguna de ellas puede pillarse con un lazo.

Una pelota normal y una pelota deformada con dos cuernos. Ninguna de ellas puede pillarse con un lazo.

Entonces, ¿cómo podemos deformar la esfera para que ningún lazo pillado entre dos cuernos se pueda escapar? La idea se la debemos a James W. Alexander. En 1924 construyó su famosa esfera cornuda y desde entonces no deja de sorprender a generación tras generación. Veamos en qué consiste.

James Waddell Alexander (1888-1971)

La esfera de Alexander se construye básicamente sacando cuernos y más cuernos, cada vez más pequeños, y entrelazándolos por parejas, tal y como se muestra en la imagen siguiente. Fijaos que los cuernos se acercan cada vez más entre ellos pero no llegan a tocarse nunca. Al final de este proceso reiterativo obtendremos una “esfera” deformada con infinitos cuernos.

Wikipedia)

Esfera cornuda de Alexander. Pulsa sobre ella para verla ampliada. (Fuente: Wikipedia)

Podéis ver también su construcción paso a paso en el siguiente video:

En esta otra imagen vemos como los puntos límite de la esfera de Alexander forman un conjunto de Cantor, un fractal que se ha comentado en la entrada Conjunto de Cantor.

Esfera cornuda desplegada sin los cuernos entrelazados, en la que se aprecia que los puntos limite forman un conjunto de Cantor.

Esfera cornuda desplegada sin los cuernos entrelazados, en la que se aprecia que los puntos límite forman un conjunto de Cantor.

Espero que comprendáis ya que si pillamos un cuerno con un lazo, éste no podrá escaparse nunca, pues por construcción, estamos cerrando las posibles salidas con nuevos cuernos. En fin, esta propiedad usando lazos es la que nos garantiza que el exterior de la esfera cornuda de Alexander no es una deformación del exterior de la esfera original. Si lo fuese, la propia deformación del exterior permitiría que los lazos se escaparan.

Concluímos pues que el resultado de Schönflies sólamente es válido en el plano. Si os dais cuenta, en el plano no podemos cruzar dos pares de cuernos sin tocarse, necesitamos saltar a una tercera dimensión para hacerlo.

Referencias y enlaces:

J. W. Alexander: An Example of a Simply Connected Surface Bounding a Region which is not Simply Connected. Proceedings of the National
Academy of Sciences 1924; 10(1): 8-10. Accesible en
http://www.pnas.org.

Artículo divulgativo de Fernando Alcalde Cuesta sobre el Teorema de
Separación de Jordan–Brouwer en Divulgamat

Enlaces de google con imágenes de la esfera cornuda

http://mathworld.wolfram.com/AlexandersHornedSphere.htmlAnimación en ulatrafractal
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_curva_de_Jordan-Sch%C3%B6nflies.

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3 comentarios to "La esfera cornuda de Alexander"

[...] La demostración de que toda superficie se puede triangular utiliza una versión fuerte (debida a A. Schönflies) del teorema de la curva de Jordan (véase la entrada esfera cornuda de Alexander). [...]

[...] La esfera cornuda de Alexander en Juegos Topológicos. [...]

[…] Luis Rodríguez Blancas, La esfera cornuda de Alexander, Juegos […]

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