Juegos topológicos

Enredos o encajes de bolillos

Posted on: marzo 14, 2009

Acabamos de ver en este video a una encajera encajando bolillos, la verdad que muy despacio. Normalmente se va muchísimo más rápido. Aquí no os vamos a enseñar cómo encajar bolillos, vamos a centrarnos en la aritmética que hay detrás y su relación con la teoría de nudos.

Fue Jonh Conway quien introdujo la notación de enredos que permitió tabular los nudos de hasta 11 cruces, y enlaces de hasta 10 cruces.

Un enredo (“tangle”, en inglés) es una configuración de dos cuerdas disjuntas dentro de una bola tridimensional, cuyos extremos son cuatro puntos fijos del borde de la bola que llamamos NO, NE, SO, SE:

enredojpg2

Los enredos más simples son los enredos enteros los cuáles se enumeran dependiendo del número de cruces que tengan. Se les asigna signo positivo o negativo dependiendo de la disposición del cruze: si la cuerda que pasa por encima tiene pendiente positiva, entonces decimos que el enredo tiene signo positivo, y si pasa por debajo, signo negativo. Por ejemplo, tenemos:

masenredosjpg

El enredo \infty es el que tiene dos cuerdas verticales sin cruzarse, luego veremos porqué se llama así.
enredo infinito

Al igual que los nudos o las trenzas, dos enredos son equivalentes si al manipularlos podemos pasar del uno al otro, sin soltar los cuatro puntos fijos.

enredos_equijpg

La suma de dos enredos Q y V se define tal y como mostramos:

sumajpg2

Con respecto a esta suma, tenemos por ejemplo 2+0 = 2 = 0+2, y 3-3=0; Y ¿qué ocurre cuando sumamos el enredo infinito a izquierda o a la derecha?

También podemos multiplicar enredos. El producto Q  V se define como Q’ + V, donde Q’ es el simétrico de Q respecto del eje que une el punto NO con el SE.

Cuidado: Esta operación no es asociativa, así que fijaremos Q  V  W = (Q V)W. Y tampoco es conmutativa.

Al multiplicar enredos enteros a_1, a_2, ..., a_n de forma ordenada como hemos dicho, obtenemos un enredo racional que denotamos a_1 a_2 ... a_n. A continuación incluimos dos videos que muestran cómo multiplicar enredos manualmente, sin necesidad de hacer reflexiones. Para ello, hay que distinguir si n es par o impar. Si n es par comenzamos con dos cuerdas en vertical, y si es impar, con dos cuerdas en horizontal. Si el enredo es positivo pasaremos la cuerda de la izquierda por encima de la derecha (si están en vertical), o la de abajo por encima de la de arriba (si están en horizonal); y si es negativo, al revés.  Uno de los dos videos siguientes tiene un error, ¿sabes dónde?

En el primer video explicamos cómo construir el producto 3 -2 -3 1.

En el segundo vídeo mostramos el producto 3 2 -2

A un enredo racional a_1 a_2 ... a_n le podemos asociar  la fracción continua siguiente:

fraccion_contjpg2

Conway demostró en 1970 (ver referencia abajo) que dos enredos racionales son equivalentes si y solamente si sus fracciones continuas asociadas coinciden.

Ejemplo: Veamos que los enredos -2 3 2  y  3 -2 3 son equivalentes.  Para ello calculamos sus fracciones continuas para ver si coinciden. La fracción continua asociada al enredo -2 3 2 es  2 + 1/(3+(1/(-2))) =12/5.  Por otro lado, la fracción continua asociada al 3 -2 3 es
3+1/(-2+(1/3)) = 12/5, como coinciden los enredos son equivalentes. Por supuesto también se puede comprobar que se puede pasar del uno al otro manualmente.

Ejercicio: Probar que los enredos 2 1 1 y -1 -2 2 son equivalentes, manualmente y comprobando que sus fracciones continuas asociadas son iguales.

A partir de un enredo podemos formar un nudo, simplemente uniendo los extremos tal y como muestra la figura (la N denota clausura “numerador” por la fórmula que viene después):

clausurajpg1

Las clausuras de dos enredos son equivalentes como nudos si y solamente si sus fracciones continuas (simplificadas) p/q y p’/q’ tienen el mismo numerador, o sea p=p’, y además los denominadores son iguales o inversos módulo p, es decir q q' = 1 +rp   para algun entero r.

Ejercicio: ¿Cuándo la clausura de un enredo racional es un nudo o un enlace?, es decir, cuando tiene una sola componente o dos. Dar la respuesta en función de la paridad del numerador de la fracción continua asociada.

Si tenéis más interés sobre los enredos y la teoría de nudos os aconsejo consultar el fantástico libro: The knot book “An elementary introduction to the mathematical theory of knots” de Colin C. Adams.

John Conway introdujo esta notación de enredos para describir nudos como clausura de enredos. Este novedoso método le perimitió clasificar los nudos hasta 10 cruces, mejorando así la clasificación anterior dada por Rolfsen que listaba los nudos hasta 9 cruces. Ver tabla de nudos enel Zoo de  Knot Plot.

En la siguiente tabla de Rolfsen de 1976 se incluye la descripción de los nudos primos de hasta 11 cruces, usando la notación de Conway.

http://mathworld.wolfram.com/ConwaysKnotNotation.html

Puedes visitar también la página de Slavik V. Jablan: http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/sl/l14.htm

Aplicaciones a la topología del ADN

La aplicación de la teoría de enredos a otras disciplinas es sorprendente. Comentaremos brevemente algunas de sus aplicaciones en biología.
Recordemos cómo es la estructura básica de una molécula de ADN (material genético más importante en la mayoría de los organismos): dicha molécula consta de una doble hélice, en la que dos cadenas de nucleótidos complementarios, se enrollan a lo largo de un eje común. Estas dobles hélices se anudan y enlazan en los procesos de recombinación, transcripción y replicación.

doble hélice de nucleótidos

doble hélice

Algunos equipos de investigación trabajan en la obtención de conexiones entre la estructura y función de las moléculas de ADN y las propiedades topológicas de los nudos y enlaces que forman. Gracias a la teoría de nudos podemos conocer cuál es el papel que desarrollan ciertas enzimas llamadas topoisomerasas en la réplica, transcripción y recombinación del ADN. Una reciente técnica experimental permite observar la molécula de ADN a través de un microscopio y curiosamente su estructura es similar a la de los diagramas de una tabla de nudos. Esto permite clasificar las móleculas de ADN antes y después de que actuen los enzimas, detectar el cambio que se ha producido y por tanto deducir algo sobre el proceso enzimático. Hecho que es de gran interés porque no hay métodos para observar a las enzimas en acción. Además, otra de las aplicaciones de la teoría de nudos ha permitido explicar cómo se pliegan las largas moléculas de ADN en los cromosomas. Esto constituía una incognita debido a que nunca se había podido ver cómo se enrolla el ADN y hasta ahora era uno de los enigmas candentes en biología pero una vez más la teoría de nudos ayudará a revelar de que forma se estructuran los filamentos de ADN. Si queréis saber más sobre las aplicaciones de los nudos y enlaces en la genética podéis consultar el siguiente trabajo realizado por un compañero nuestro que aborda este tema

molécula de ADN

molécula de ADN

¿Alguna vez te has preguntado en exactamente cuantos pasos se puede desanudar un enredo? Si tiene interés consulta el siguiente artículo.

Enlaces de interés:

Trabajo original de Conway: J. H. Conway, An Enumeration of Knots and Links, and Some of Their Algebraic Properties. In Computation Problems in Abstract Algebra (Ed. J. Leech). Oxford, England: Pergamon Press, pp. 329-358, 1970.

Tangle operations de la página de Slavik V. Jablan: http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/sl/l14.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Tangle_theory

El programa Knotplot incluye una calculadora de enredos o “tangles” http://www.knotplot.com/

http://mathworld.wolfram.com/Knot.html

http://www.tiem.utk.edu/~gross/bioed/webmodules/DNAknot.html

http://ualmat.wordpress.com/

http://www.cienciahoy.org.ar/hoy08/matematica.htm

Rolfsen, D. “Table of Knots and Links.” Appendix C in Knots and Links. Wilmington, DE: Publish or Perish Press, pp. 280-287, 1976.

About these ads

2 comentarios to "Enredos o encajes de bolillos"

Great items from you, man. I have remember your stuff prior to and you’re just extremely excellent.
I really like what you have received right here,
certainly like what you are saying and the way in which you
are saying it. You’re making it enjoyable and you continue to care for to keep it wise.

I can not wait to read far more from you. This is actually a wonderful
website.

Estupendo!!! Tanto desde el punto de vista matemàtico (estudié ciencias puras en el bachillerato), desde el punto de vista de profesora de encajes de bolillos.
De lo que deduzco después de leer tu artículo y desde la técnica del encaje es que l@s encajer@s (que también hay señores que hacen encajes) solo efectuamos los siguientes enredos:

Enredo 1 = es lo que se llama vuelta

Enredo -1 = es lo que se llama cruz

Enredo -n = cuando damos varias vueltas seguidas

Sin embargo no efectuamos nunca el enredo n, puesto que no cruzamos nunca varias veces seguidas de esta forma.

Ahora estoy empezando un icosaedro de encaje de bolillos. A ver que tal me queda.

Muchas felicidades por tu blog.

Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

Stats

  • 539,049 Visits

Síguenos en

Google translator

Sierpinski carpet project

Juego alicatado con hilos.

String art project

1ª mención de honor Matemáticas 2012

Mago Moebius: Geometry and magics with soap bubbles

Show de magia, matemagia, humor y fantasía, adaptado a todos los niveles.

3D POLYFELT – POLIFIELTROS 3D

NUESTRO JUEGO EDUCATIVO MÁS POPULAR

Primer Premio en Matemáticas 2013

Nuestro blog participa en

HA SIDO GANADOR EN DOS EDICIONES

PREMIADO EN ENFOCA 2012

Elegida foto del mes en Divulgamat, y segundo premio Enfoca 2012, en Facebook.

Red Española de Topología

Cibermentor de la asociación

Colaborador del EPFL Mathematical Humanitarian Project

Enlaces

Escribe tu dirección de correo electrónico para suscribirte a este blog, y recibir notificaciones de nuevos mensajes por correo.

Únete a otros 65 seguidores

Actualizaciones de Twitter

A %d blogueros les gusta esto: