Compactación de Alexandroff

Posteado por: nataliaq en: Marzo 30, 2009

En: General
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Casi todos los objetos que hemos tratado en este blog son compactos. La compacidad es una propiedad muy importante en topología, ya que si tenemos objetos compactos nos resultará mucho más fácil estudiar sus propiedades, clasificarlos, etc. Esto lo veremos pronto cuando clasifiquemos las superficies compactas.

Una manera de saber si un objeto es o no “compacto” es estudiar qué ocurre con sucesiones de puntos contenidas en el objeto. Debemos comprobar que todas las sucesiones de puntos en el objeto que sean convergentes, tengan su punto límite dentro del objeto. Si es así, entonces será compacto.

Veamos algunos ejemplos:

Pensemos en objetos dentro de la recta real. Un intervalo abierto, por ejemplo el (0,1) que es igual al conjunto {0<x<1}, no es compacto ya que existe una sucesión de puntos, por ejemplo, 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … que cada vez está más cerca de 1, es decir existe una sucesión convergente a 1. Como el intervalo es abierto, el 1 no pertenece al conjunto, luego no es compacto. Ahora, si en vez de abierto lo consideramos cerrado [0,1], esto es incluimos los extremos, lo puntos límites de todas las sucesiones convergentes de puntos del intervalo estarán dentro del conjunto, luego sí será compacto.

Podemos plantearnos si la recta real es o no compacta. La respuesta es simple, existen sucesiones no acotadas (es decir que se alejan cada vez más) de modo que su punto límite está en el infinito. Como el infinito no está en la recta real, concluimos que la recta real no es compacta.

¿Cómo podemos “hacer compacto” un objeto? Si consideramos un objeto que no sea compacto, la idea es añadirle aquellos puntos límite de las sucesiones de puntos que no estén en él. Si identificamos todos estos puntos límites añadidos en un sólo punto, llamado infinito, obtendremos lo que se conoce como compactación de Alexandroff o compactación por un punto. Se le llama así por el matemático ruso Pavel Alexandrov.

Veamos unos ejemplos bastante intuitivos de lo que consiste la compactación por un punto.

- Hemos visto que $\mathbb{R}$ no es compacto porque el infinito no está contenido en él. ¿Cómo sería la compactación por un punto de $\mathbb{R}$ ? Podemos intentar visualizarla intentando “pegar” la recta real por el infinito. ¿Cuál sería el resultado? Es fácil imaginarse que sería una circunferencia:

imagen41

- Otro ejemplo, $\mathbb{R}$ x $\mathbb{Z}$ . ¿Qué se obtiene uniendo todas estas rectas horizontales?

imagen2

Se obtiene algo así:

imagen3

Podemos formalizar este conjunto de la siguiente forma:

formalizacion

- Por último, es fácil visualizar que la compactación de $\mathbb{R} ^+ \cup \mathbb{R} ^-$ (la recta real sin el cero) tiene el aspecto de dos circunferencias pegadas por el cero: