Juegos topológicos

Pompas de jabón II

Posted on: noviembre 11, 2009

Viene de la entrada Pompas de jabón.

Cuando introducimos dos aros de alambre cruzados formando un ángulo recto, no se forman dos láminas perpendiculares como sería de esperar, sino que se unen formando un ángulo de 120º y siempre aparecen tres láminas (360/3=120) alrededor de cada arista común. La naturaleza resuelve esto añadiendo un “ojo” en cuyos párpados se aprecian tres laminas unidas:

Al juntar los dos aros por un solo punto podrían salir dos discos unidos por el punto común, pero ¡no! Una vez más la naturaleza nos sorprende con esta otra pompa:

Si situamos los dos aros en paralelo a una corta distancia se forman la famosa catenoide, una superficie que tiene como generatriz una catenaria o curva de la cadena (que se obtiene al sostener una cadena por sus extremos).

Cuando doblamos el aro para formar una horquilla como la que muestra el video siguiente, se forma una variante de la conocida superficie de Schreck. Es espectacular ver como se mueve al abrir o cerrar la horquilla, o como se estira al soplar sobre ella:

No importa lo retorcido que esté el alambre, la pompa se adaptará a la forma que diseñemos. Nuestra imaginación puede comenzar a volar:

En esta otra se muestra como giran pompitas alrededor de otras dos:

A continuación mostramos una superficie minimal que, sin embargo, no tiene área mínima. Para obtener la pompa de área mínima hay que juntar los extremos inferiores tal y como se hace en el video.

Puedes encontrar más explicaciones y material en:

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2 comentarios hacia "Pompas de jabón II"

[...] se está realizando un taller de pompas de jabón en la carpa instalada en el paseo central. Horario previsto: Martes de 12 a 18 horas, jueves de 16 [...]

En el vídeo sobre la formación de la catenoide, para que aparezca la
catenoide, los dos círculos deben ser coaxiales, es decir, la recta
que une los centros tiene que ser perpendicular a los planos que
contienen los aros circulares. Sin embargo:

1. En principio, la superficie no tiene porqué ser de revolución.
Quiero decir, cuando uno forma la pompa de jabón, el dato inicial lo
constituye los dos aros circulares. Si uno coloca los aros de forma
coaxial, y forma la película de jabón, en principio no tiene porqué
aparecer una superficie de revolución (la catenoide). Sin embargo,
hay un teorema que afirma que sí, que la superficie tiene que ser de
revolución. Por tanto, el vídeo “esta demostrando” ese teorema.

2. Si uno coloca los dos aros en planos paralelos, pero no de forma
coaxial, es decir, los aros están desplazados, puede uno observar en
el vídeo (entre los segundos 18 y 22) que la superficie obtenida
tiene la siguiente propiedad: la intersección de la superficie por
un plano paralelo a los planos que contiene a los aros es de nuevo
un círculo. Este resultado es un teorema (de Shiffmann), el cual no es
fácil probar.

Quiero decir con ello, que hay propiedades sobre películas jabonosas
que cuando uno se pone a estudiarlas, necesita de fuertes
herramientas matemáticas, esencialmente, teoría de ecuaciones en
derivadas parciales de tipo elíptico y análisis complejo.

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