1. Geometría de la goma elástica

La Topología es la geometría de la goma elástica.

Con una goma elástica (de pelo) podemos formar un triángulo, un cuadrado, una circunferencia o una elipse, la estiramos,  la encojemos o la doblamos. Desde el punto de vista topológico, se trata del mismo objeto, una goma que tiene la forma de una circunferencia.

Un homeomorfismo entre dos objetos es un proceso de ida y vuelta entre dichos objetos, que es continuo en las dos direcciones, es decir, sin roturas ni pegamientos. Se dice entonces que tales objetos tienen la misma forma, o que son homeomorfos.

Ejemplos que no son homeomorfismos: cortar una goma elástica o pinchar un globo. Tampoco lo es pegar una goma elástica por su mitad para formar una figura en forma de 8.

Mostramos ahora un video en el que se ve cómo se transforma una taza de café en un dónut, y un cubo en una esfera. Al final del video vemos una taza con dos asas que se transforma en el doble toro:

Las transformaciones de un objeto en otro no tienen porqué ser únicas. A continuación vemos por ejemplo otra transformación entre la taza y el donut, que consiste primero en “engordar” el fondo de la taza hasta cubrirla enteramente y después deformarla hasta conseguir la forma de un donut, de modo que el asa de la taza se corresponde con medio donut:

Para ilustrar cómo se transforma una esfera en un cubo podemos por ejemplo inflar un globo dentro de una cubo de cristal.

Problema de los anillos: ¿Pueden desenlazarse estos anillos, sin cortarlos, sólo estirándolos o encogiéndolos como si fueran de goma elástica?

anillos.gif

Para este juego podemos usar plastilina. Para ver la solución clica aquí.

¿No te lo acabas de creer? Mira esta variante:

Basándonos en esta idea hemos diseñado este otro juego mágico con alambres:

https://topologia.wordpress.com/2009/11/23/juego-magico-con-alambres/

[Añadido el 2 de junio de 2017] Y un fisquito de matemáticas con Aniceto Murillo:

4 replies to “1. Geometría de la goma elástica

  1. hola llege aca a esta pagina porq estoy estudiando topologia y unosd e los temas es homeomorfismo …ya q estoy en la carrera de profesorado de matematica….impresionante el video…

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