Trenzas

Las palabras nudos, enlaces y trenzas designan objetos cotidianos que el hombre ha utilizado desde los tiempos más antiguos. Su utilidad práctica no necesita explicación. Es bien conocido que los marinos han ideado distintas clases de nudos para sus necesidades, a los que han denominado con nombre propio. Pero también han servido como adorno ornamental e incluso como sistema de enumeración. En un libro escrito por Pedro de Cieza de León se describe con asombro cómo los Incas utilizaban quipus, que eran largas cuerdas con nudos, que usaban para llevar sus cuentas y calcular sus transacciones comerciales. Parece ser que incluso eran capaces de recordar acontecimientos pasados porque estaban escritos de alguna forma en los quipus.

Sin embargo, el significado y estudio de nudos, trenzas y enlaces como objetos matemáticos es relativamente reciente. Probablemente el primer científico que utilizó un concepto directamente relacionado con lo que hoy entendemos por enlace matemático, fue Gauss. Además de Gauss citemos entre los precursores de la Teoría de nudos a Listing, Tait y Kelvin. La Teoría topológica de nudos empieza a tener importancia a partir de 1920 con las aportaciones del matemático Alexander.

La Teoría de nudos, enlaces y trenzas tiene diversas aplicaciones como por ejemplo en Biología, en Física e incluso en Criptografía entre otras.

Nos centraremos aquí en la Teoría de Trenzas, la cual, fue inventada en 1925 por el geómetra y matemático Emil Artin y se ha venido desarrollando independientemente de la teoría de nudos, pero que como veremos al final tiene mucha relación. Una trenza se puede representar mediante una palabra (con minúsculas y mayúsculas) tal larga como se quiera. El número de letras distintas más 1 es el número de cuerdas que necesitamos para formar la trenza. Por ejemplo, la palabra aBCA necesita 4 cuerdas y representa la trenza:

Aquí la letra a es la trenza que cruza la primera cuerda por debajo de la segunda, la b es la que cruza la segunda cuerda por debajo de la tercera, y así para las demás letras minúsculas. Las mayúsculas son respectivamente las que cruzan cada cuerda por encima de la siguiente.

Se tiene que aA=Aa=1, la trenza trivial (después de una pequeña manipulación, sigue leyendo abajo), y lo mismo con las demás letras.

Dos trenzas w y w‘ cualesquiera se pueden componer colocando la segunda justo debajo de la primera, lo que se traduce simplemente en yuxtaponer las palabras, es decir ww’. Esta operación define un grupo llamado grupo de trenzas o de Artin, generado por las trenzas básicas a, b, c, etc. y sus inversas. ¿Hay relaciones?

Ejercicio 1: Haz la trenza aba y manipulala hasta obtener bab (ver dibujo). Esto da la relación bab=aba en el grupo de trenzas.

Lo mismo ocurre con dos cuerdas consecutivas de la trenza, cdc=dcd, etc.. También se da la relación de conmutatividad ac=ca (y lo mismo pasa con cuerdas separadas por al menos otra cuerda en medio bd=db, etc).

Dos trenzas son equivalentes si manipulándolas, sin soltar los extremos, se pasa de una a la otra.

Se tiene que dos trenzas son equivalentes si y sólamente si las palabras asociadas en el grupo de trenzas coinciden. Esto nos permite trabajar algebraicamente, que es más sencillo.

trenzas_equi1

Ejercicio 2: Comprueba que las dos trenzas del dibujo son equivalentes. Prueba también que las trenzas abDabd y babb son equivalentes, realizando manipulaciones o de manera algebraica, pasando de una palabra a otra.

Movimientos de Markov

Para la teoría de nudos las trenzas son muy importantes, pues cada trenza puede cerrarse para formar un nudo (o enlace) uniendo los extremos superiores con los inferiores, como muestra el ejemplo:

¿Sabes cual es el enlace resultante? — ¿Sabes cuál es el nudo o enlace resultante?

En el primer diagrama no se obtiene una trenza.En el segundo, cortando el nudo por la linea azul y estirándolo se obtiene la trenza AAA

Ejercicio 3: ¿Puedes encontrar una trenza asociada al nudo figura 8 (mira el nudo 4_1 de la tabla de nudos). Si te ha resultado sencillo puedes tratar de encontrar trenzas asociados a otros nudos de la tabla.

Un resultado debido a Markov de 1935 nos dice cuándo el cierre de dos trenzas w y w’ dan lugar al mismo enlace; se dice entonces que son Markov-equivalentes. El resultado afirma que w y w’ son Markov-equivalentes, si y solamente si puede pasarse de una palabra a otra usando las relaciones del grupo de trenzas (descritas anteriormente), más dos operaciones extras:

conjugación: si x es cualquier trenza, entonces w y xwX dan lugar al mismo enlace. Se dice que son conjugadas por x. ¿Podéis comprobar que el cierre de ww’ y w’w dan lugar al mismo enlace?

estabilización: supongamos que w tiene n cuerdas, y que x es una trenza básica que pasa la cuerda n-ésima por debajo de la (n+1) – ésima. ¿Podéis comprobar que el cierre de w y wx dan lugar al mismo enlace?

Ejercicio 4: Prueba que al cerrar la trenza AcbaadaBa obtenemos un nudo de trébol. Puedes hacerlo manipulando el cierre de la trenza, o de manera algebraica usando las operaciones de conjugación y estabilización con su palabra asociada (además de las relaciones del tipo bab=aba, ac=ca).