La fórmula de Euler: v-a+c=2

Esta fórmula, atribuida a René Descartes (1956-1650), y más conocida por la fórmula de Euler, relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo (en particular, homeomorfo a una esfera). Observar que en esta fórmula no interviene ninguna magnitud de medida.

En la página Euler’s formula for poliedra encontraréis los cálculos de la característica de Euler para los cuerpos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. En todos los caso obtenemos que $v-a+c=2$ . De hecho, estos son todos los posibles poliedros regulares.

Ejercicio 1: Demostrar que los únicos poliedros regulares homeomorfos a la esfera son los cuerpos platónicos.

Recordar que un poliedro regular es aquél en el que cada cara tiene el mismo número de aristas, pongamos $m\geq 3$ y, además en cada vértice concurren el mismo número de aristas, pongamos $n\geq 3$ . La demostración del ejercicio se basa en resolver un sistema indeterminado de tres ecuaciones con 5 incógnitas $v-a+c=2$ , $mv=2a$ , $nc=2a$ , donde $m$ y $n$ son respectivamente el número de aristas de cada cara y cada vértice. Tanto $m$ como $n$ deben varíar entre 3 y 5, ambos inclusive.

En la fórmula anterior Euler supone que los poliedros son convexos. Por ejemplo, en todo poliedro con la forma de un toro se cumple $v-a+c=0$ . ¿Puedes comprobarlo? Si te rindes sigue leyendo.

En general, para un poliedro convexo que sea homeomorfo a una superficie orientable de género $g$ se tiene la fórmula más general:

$v-a+c=2-2g$

Ilustración de superficies de género g=0, 1, 2, y 3

El género $g$ es el número de «agujeros» de la superficie según muestra la figura. Esta fórmula, descubierta en 1813 por Antoine-Jean Lhuilier (1750-1840), es el primer invariante topológico conocido. Se suele denotar por $\chi= v-a+c$ y se llama característica de Euler.

La característica de Euler-Poincaré es una generalización a espacios de dimensiones superiores (mira el enlace de politopos).

Páginas web relacionadas:

Euler’s formula for poliedra, Euler’s formula in higher dimensions, Visualizing the hypercube de la página de Zbigniew Fiederorwicz.

Fórmula de Euler para politopos de dimensión 4: $\chi = v-a+c-e$ donde $e$ es el número de celdas de dimension 3. Ver por ejemplo politopos regulares de dimensión 4 en Wikipedia.

Politopos regulares y pompas de jabón