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El conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski

Posted on: diciembre 19, 2008

El conjunto de Cantor

Fue introducido por George Cantor en 1883. Se trata de un fractal del intervalo unidad [0,1] con una construcción muy interesante.

cantor

Llamamos  C_0=[0,1]  y lo dividos en tres partes iguales. Entonces tendremos tres intervalos más pequeños [0,1/3],  (1/3, 2/3), [2/3,1]. Nos deshacemos del intervalo abierto (1/3, 2/3) obteniendo así el subconjunto C1=[0,1/3] U [2/3,1]. Ahora, divimos los intervalos [0,1/3] y [2/3,1] en tres partes iguales, como hicimos antes, y nos deshacemos del intervalo abierto del medio. Entonces obtendremos

C2=[0,1/9] U  [2/9,3/9] U  [6/9,7/9] U  [8/9,1].

Siguiendo con este proceso indefinidamente obtendremos C3,  C4, C5, …. La unión de todos ellos es el conjunto de Cantor que hemos mostrado al principio.

Encontrará más propiedades del conjunto de Cantor en el siguiente enlace conjunto-de-cantor

El triángulo de Sierpinski

Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919. Veamos su construcción.

Comenzamos con un triángulo equilátero. En su interior trazamos otro triángulo equilátero cuyas esquinas coincidan con los puntos medios de cada lado del triángulo mayor. Esta figura estará invertida con respecto a la primera. Luego quitamos este triángulo de manera que sólo se conserven los tres triángulo equiláteros menores y similares que se observan dentro del grande. Procedemos de la misma manera para todos los triángulos pequeños que nos quedan dentro del grande. Con este proceso iterativo sobre cada triángulo obtendremos el triángulo de Sierpinski.

triangulo-de-sierpinski

A medida que se suceden las iteraciones, el área total del triángulo de Sierpinski se acerca a cero, ya que cuando vamos descartando triángulos descartamos los puntos contenidos en ese área, es decir, esos puntos no van a pertenecer a nuestro conjunto.

Autosemejanza en el triángulo de Sierpinski

El “triángulo” de Sierpinski en 3D

8 comentarios to "El conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski"

[…] Cuanto más estudiés su forma y propiedades, más os gustará. Por ejemplo, podréis ver un conjunto de Cantor en los puntos límites. Alexander también es muy conocido por descubrir el primer invariante […]

Hola , oye podrias hablar un poco sobre como es eso de q un “x” esta en cantor si y sólo si su expancion ternaria solo consta de digitos q sean 1 y/o 2? o tal ves explicar de forma clara o simple como es q se da la expancion ternaria de un numero.
Gracias por tu tiempo, atte: goob

Para escribir un número en base 3 lo que tienes que hacer es dividir el número por 3 si es entero o multiplicarlo por tres si es decimal. Aquí van algunos ejemplos:
El número 11 en base 3:
1) divido 11 entre 3; da cociente 3 y resto 2 (me quedo con el 2)
2)Divido el cociente anterior entre 3: da cociente 1 y resto cero (3/3=3*1+0) y he terminado
Entonces 11 en base 3 se escribe: 11= 32 ( base 3)
El número 0.75 en base 3:
0.75*3=2,25 (me quedo con el 2)
0.25*3=0.75 (me quedo con el cero)
0.75*3=2.25 (me quedo con el dos)
0.25*3=0.75 (me quedo con el cero)
y así sucesivamente, entonces 0.75 en base 3 es 0.20202020……..
Sabemos que 2/3 no está en el conjunto de Cantor. Si lo escribes en base 3 te dará 0.1210, entonces de aquí puedes concluir que los números cuya expansión decimal en base 3 contenga al 1 no estarán en el conjunto de Cantor

Mely estaba examinando el conjunto de cantor y esta era una delas cosas que no entendia gracias, y que de aquello que es autosemejante entre si, aun me falta base verdad?

La autosemejanza se refiere a que el todo está formado por varias copias de si mismo colocadas en diferente posición.

si quieres puedes ir a este enlace

http://www.oma.org.ar/omanet/caos/00-01.htm

[…] ejemplos de fractales son: el Conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski, la esponja de Menger, la isla de Von […]

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