¿Podemos rellenar un cuadrado con una curva continua?

George Cantor (1845-1918 ) demostró en 1878 que una linea y un cuadrado tienen el mismo número de puntos. Este hecho resultó tremendamente impactante en Matemáticas, y choca con el sentido común. Sin embargo, la biyección que dio Cantor no era continua. Y de hecho, un año más tarde, E. Netto probó que no podía existir una biyección continua entre un intervalo y un cuadrado. No se tardó mucho, en 1890, para que Guiseppe Peano (1858-1932) diese el primer ejemplo de una curva continua que rellena completamente el cuadrado, pero no inyectiva por el resultado de Netto. La curva se obtiene como el límite de curvas que van rellenando homogéneamente todo el cuadrado (de hecho, es de naturaleza fractal).  Veamos los primeros 4 pasos de su construcción:

Wikipedia)
Curva de Peano (Fuente: Wikipedia)

A esta curva le siguieron muchas otras curvas interesantes, como por ejemplo la que propuso David Hilbert (1862-1943) en 1891:

Wikipedia)
Curva de Hilbert (Fuente: Wikipedia)

Para dibujarla, tomamos el cuadrado unidad y lo dividimos en cuatro partes iguales. Luego unimos los centros de los mismos con una curva como se muestra en figura de la izquierda (orden 1). Haciendo este procedimiento repetidas veces obtendremos la curva:

hilbert500

¿ Se podría rellenar un cubo unidad con la curva de Peano o la de Hilbert? La respuesta es afirmativa. Pueden verse los siguientes enlaces Peano 3D, Hilbert 3D

Enlaces:

Referencia: Hans Sagan, Space-Filling Curves, Springer-Verlag, New York, 1994. ISBN: 0-387-94265-3.

Applet con plantillas para dibujar algunas curvas de Peano. Imprime  cuadrículas en PDF para dibujarlas para dibujarlas tu mismo (o usa este otro programa ejecutable).

mathworld wolfram

curso fractales

Todas las curvas de Peano

Curva de Hilbert para tratamiento de imágenes

 

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