Clasificación de superficies

La clasificación de superficies topológicas (compactas y conexas) es uno de los resultados más famosos de las matemáticas en el Siglo XX. Antes de adentrarnos en la idea de su demostración os describiré el enunciado junto a las personas que han contribuido a su prueba.

En 1870 August Möbius clasifica las superficies orientables (es decir aquellas que no contienen una cinta de Möbius ). Éstas son la esfera y la suma conexa de toros:

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La esfera, el toro, el doble toro y el triple toro.

La suma conexa de dos superficies se obtiene empalmándolas  tal y como indica la figura anterior. El número de toros empleados en dicha suma se denomina género de la superficie. La esfera tiene género 0, ya que puede considerarse como la suma conexa de 0 toros. Además, es el elemento neutro de esta operación entre superficies que resulta ser conmutativa y asociativa (donde “igualdad” entre superficies significa “homeomorfismo”).

Por otro lado, toda superficie no orientable es suma conexa de planos proyectivos. En este caso, el número de planos proyectivos empleados se llama igualmente género de la superficie.

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El bonete cruzado (plano proyectivo).
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Suma conexa de dos bonetes (botella de Klein) y la de tres bonetes. Todas lasa superficies no orientables se obtienen así como suma conexas de planos proyectivos.

La primera superficie es el plano proyectivo (género 1) en su modelo de bonete cruzado, la segunda es la botella de Klein que tiene género 2, etc.

Esta clasificación fue anunciada en 1888 por W. von Dyck, aunque dando una prueba incompleta. En 1907 M. Dehn y P. Heegard confirman esta clasificación, bajo la hipótesis de que todas las superficies se pueden triangular. Y finalmente T. Radó prueba en 1925 que toda superficie es triangulable, lo que completa el teorema de clasificación.

La demostración de que toda superficie se puede triangular utiliza una versión fuerte (debida a A. Schönflies) del teorema de la curva de Jordan (véase la entrada esfera cornuda de Alexander).

En el PDF Clasificación topológica de superficies damos una idea de la demostración, incluyendo la clasificación de las superficies con borde, usando la característica de Euler, y contiene el método por reducción de palabras y ejercicios al final.

Referencia:

Classification of Surfaces de Zbigniew Fiederorwicz.

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