¿Cómo aplanar una esfera?

¿Cómo podríamos convertir una esfera en un plano de manera continua? Hay muchas maneras de “aplanar” una esfera, pero hay una en particular que tiene buenas propiedades, como la de conservar ángulos. Es la denominada proyección estereográfica.

Consideremos la esfera 2-dimensional de radio 1 (con centro el origen de coordenadas (0,0,0)):

S^2=\{ x^2+y^2+z^2=1\}

Le quitamos el polo norte (0,0,1).  Consideremos también un plano tangente al polo sur (0,0,-1) (podríamos considerar en su lugar el plano que contiene al ecuador).

La idea es proyectar cada punto de la esfera sobre el plano, de la siguiente manera: Tomamos un punto de la esfera y trazamos una línea recta que una el polo norte con este punto hasta cortar con el plano.  ¡El punto de corte es el que buscamos!

Para que quede más claro puedes ver  la siguiente imagen (extraida de http://www.dimensions-math.org/Episode_1C.JPG):

Si proyectamos todos los puntos de la esfera (menos el polo norte) obtendremos un plano infinito. Observar que los puntos más cercanos al polo norte se envían a puntos del plano cada vez más alejados. El hemisferio sur irá a a un disco y el hemisferio norte al exterior de este disco.

El polo norte se alcanza cuando nos alejamos hacia el infinito en cualquier dirección.
Los meridianos de la esfera se proyectan sobre rectas que pasan por el origen. El “polo norte” se alcanza cuando nos alejamos hacia el infinito por cualquier dirección.

Todos hemos construido con cartulina los 5 cuerpos platónicos (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro)  a partir de su desarrollo plano. Para visualizarlos de forma plana, hay otra manera conocida como el diagrama de Schlegel. Para la construcción de este tipo de diagramas se utliza la proyección estereográfica. Primero se proyectan todos los vértices de la figura en una esfera y luego se realiza la proyección estereográfica de los mismos, desde el centro de una cara, tal y como se muestra en la imagen siguiente:

Algunos politopos regulares
Desarrollo y diagrama de Schlegel de los poliedros regulares. Observar que la cara que falta es el exterior de la figura.

En próximas entradas hablaremos de la esfera tridimensional S^3, y de su proyección esteroegráfica en el espacio esférico. Hablaremos también de la esfera dodecaédrica de Poincaré, una posible forma para nuestro universo.

Puedes visitar estos enlaces:

Un video interesante sobre la proyección estereográfica, donde se muestra cómo se las  circunferencias contenidas en la esfera se proyectan en circunferencias o rectas del plano. Además se muestra cómo se preservan ángulos.

El siguiente video es muy bueno también, y se ve como el polo norte va al infinito.

Proyección estereográfica.

Página de Neil Strickland donde se ve, además de otras homotopías, una de la proyección estereográfica. Puedes ver el código de la animación que hemos hecho nosotros con el programa Mathematica.

poliedros y politopos

Schlegel diagrams

sólidos

el diagrama de Schlegel

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7 replies to “¿Cómo aplanar una esfera?

  1. Muy buena entrada, me agrada este tema, de hecho me gustaria que me dijeras donde encuentro lo de la esfera tridimensional , y de su proyección esteroegráfica en el espacio esférico; tengo un proyecto pendiente para la escuela, y creo que esto era lo que me hacia falta.
    Saludos.

  2. Muchas gracias José Luis, esta película la andaba buscando desde hace 6 meses ¡¡¡ fue por ella que me interesé por este tema, un profesor la proyectó a grupo y me encantó, muchísimas
    gracias…por cierto, esperaré con ansias la entrada que preparas.
    Una cosa más, me encantó el titulo de este blog “¿Cómo aplanar una esfera?”, y de una vez te pido permiso para utilizarlo como el titulo de mi proyecto, que es mas bien una charla con los compañeros acerca de temas que nos interesan.
    Gracias, nuevamente y saludos.

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