La esfera de Poincaré, ¿la forma de nuestro universo?

En los comentarios recientes encontraréis enlaces con información actualizada sobre este apasionante tema.  Parece que  se descarta la esfera de Poincaré como forma topológica para nuestro universo. Esto no anula, ni mucho menos, los esfuerzos de la mente humana por entender el mundo que nos rodea, imaginándose mundos que aunque físicamente descartables, son matemáticamente posibles (añadido el 30 de noviembre de 2010)

La forma topológica que posee nuestro universo es todavía desconocida.  Una de las hipótesiss planteada por Jean-Pierre Luminet es que el espacio podría tener la forma de una esfera de  Poincaré. Descubierta a principios del siglo XX por otros motivos, la esfera de Poincaré está siendo considerada desde hace unos años en Cosmología como una posible forma de nuestro universo. En esta entrada comentaremos qué es lo que veríamos si viviésemos dentro de un espacio así.

Recordad que al igual que pegabamos los lados opuestos de un cuadrado de goma elástica para obtener un toro, podíamos pegar las caras opuestas de un cubo macizo para obtener el 3-toro. Este tipo de 3-variedades obtenidas al pegar dos a dos las caras de un poliedro, son espacios acotados y sin fronteras,  aunque alguien que viviese dentro tendría la ilusión de verse a sí mismo incluso infinitas veces, y en todas las direcciones, como ocurre con el 3-toro. Veamos ahora cómo se construye la esfera de Poincaré. En lugar de un cubo macizo, tomamos ahora un dodecaedro macizo, e identificamos cada cara con su opuesta, una vez realizado un giro de 360º/10 = 36º .  Es decir, las caras están pegadas de manera que cuando «sales» por una cara apareces automáticamente por la opuesta, pero girado 36º.  El dodecaedro tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices; luego después de la identificación tendremos tan sólo: 6 caras, 5 vértices y  ¿sabes cuantas aristas?

Si nos encontrásemos en el centro del dodecadro y mirasemos hacia una cara cualquiera veríamos una fila de nosotros mismos, cada uno de ellos girado 36º respecto al anterior, hasta que en la décima posición tendría la misma orientación que nosotros (pues 10 por 36º son 360º). Esta misma ilusión se tendría en cada uno de los dodecaedros que van apareciendo en el camino. La geometría del dodecaedro permite que se forme un puzle tridimensional de 120 dodecaedros en el espacio esférico (donde cada tres dodecaedros encajan perfectamente). Es decir, que si viviésemos dentro de este espacio veríamos exactamente 120 copias de nosotros mismos, cada copia contenida dentro de una celda en forma de dodecaedro. Este complejo formado por 120 dodecaedros es un 3-politopo (o policoro) llamado hecatonicosacoron o 120-cell en inglés. Una manera de imaginarnos este complejo es recurriendo a su diagrama de Schlegel (eliminamos el interior de las celdas y las caras para verlo mejor):

Este es el diagrama de Schlegel del 1-esqueleto del 120-cell (sólo se ven sus vértices y sus aristas)

En esta otra imagen vemos el diagrama de Schlegel del 2-esqueleto del 120-cell, con las aristas y las caras curvadas, tal y como se dispondrían si fuesen pompas de jabón.

120-cell visto desde fuera (falta un dodecaedro grande que englobaria a los 119 que hay ya dibujados). Imagen obtenida por John Sullivan (Fuente: Wikipedia)

Del mismo modo que al inflar un dodecaedro se obtiene  una 2-esfera, al inflar el120 cell se obtiene una 3-esfera. Así, lo primero proporciona una teselación de la esfera con 12 pentágonos curvados, y lo segundo, una «teselación» tridimensional de la 3-esfera con 120 dodecaedros (macizos) curvados, tal y como se aprecia en la imagen anterior. En otra entrada contaremos más cosas de la 3-esfera.

Puedes descargarte el juego de Jeff Weeks «Curved Spaces» que te permite volar en la esfera de Poincaré y en otros espacios curvados como el que muestra la siguiente imagen. Estamos dentro del espacio hiperbólico de Seifert-Weber. A diferencia de la esfera de Poincaré, este espacio se obtiene al identificar las caras opuestas de un dodecaedro después de girar 72º. En este caso veríamos infinitas copias de nuestra galaxia, que darían lugar a una teselación tridimensional del espacio hiperbólico.  Observar que en este espacio hiperbólico se encajan en cada vértice 8 dodecaedros.

Imagen extraída de: http://geometrygames.org/CurvedSpaces

[Añadido el 10 de enero de 2018: 120-celda en Realidad Virtual.]

Enlaces:

Presentación de «Topología Cósmica» http://www.etsu.edu/physics/etsuobs/starprty/120598bg/section6.htm

Sobre politopos regulares: http://math.ucr.edu/home/baez/platonic.html

Diagramas de Schlegel, para representar 3-politopos en R^3: http://en.wikipedia.org/wiki/Schlegel_diagram

The story of the 120-cell, by John Stillwell:
http://www.ams.org/notices/200101/fea-stillwell.pdf

Triangulaciones de la esfera de Poincaré y otras variedades: http://www.math.tu-berlin.de/diskregeom/stellar/#soft

Con este programa podrás conocer más a fondo la estructura interna y simetrías del 120-cell. http://www.gravitation3d.com/120cell/

Conoces el cubo de Rubik? Hay una versión en el dodecaedro conocida como Megaminx. Pues las versiones en dimensión 4 existen también: el magic cubic 4D y el magic 120-cell.

Aquí puedes ver las esculturas metálicas de Bathsheva Grossman, incluido el 120-cell. http://www.bathsheba.com/math/

Aquí encontrarás una escultura de Georg Hart: http://www.georgehart.com/rp/120-cell.gif

Dodecaedral tillings in Math Games: http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_12_18_06.html

Puedes también construir poliedros y politopos con Zome.  http://www.zometool.com.

Natalia eneseñándonos el hiperdo de Zome. En otra entrada colgaré más fotos.

Solid-Segment Sculptures