Encoger, rajar y pinchar

En topología nos interesa conocer la forma de un objeto. Una manera de obtener información interesante es encoger o retraer dicho objeto sobre sí mismo todo lo que se pueda, con el fin de conseguir una forma más simple. Si no puede encogerse, se pincha o se raja el objeto por diversas partes, para poder encogerlo luego. En este proceso se toma nota del número de pinchazos o rajas y los lugares por donde se han realizado.

Por ejemplo, un disco se puede retraer o encoger hasta su centro:

En el siguiente video vemos cómo un cilindro (sin tapas) se retrae a su base, que es una circunferencia.

Parecido al caso del cilindro, en este otro video vemos cómo la cinta de Möbius se retrae a la circunferencia que queda justo en su mitad.

Podéis comparar este tipo de transformaciones con las que vimos en la entrada «homotopías«. En aquellas se mantenía la forma topológica del objeto, y por eso aquellas reciben el nombre de «isotopías».

Sigamos con más ejemplos. Si tomamos una esfera y la pinchamos por el polo norte vemos que la esfera agujerada puede retraerse al polo sur:

Si pinchamos la esfera por los dos polos, la podemos retraer a su ecuador:

Si rajamos la esfera por su ecuador, la podremos retraer a los dos polos:

Si rajamos el toro por un paralelo podremos retraerlo al paralelo opuesto que es una circunferencia:

Y si lo hacemos por un meridiano, lo podemos retraer al meridiano opuesto que es también una circunferencia:

Si rajamos al toro por un paralelo y un meridiano lo podemos retraer a un punto:

Terminamos planteando un problema:

¿Existe una retracción del disco sobre su borde?

Para entender el problema nos imaginamos un aro metálico y una tela de goma elástica que lo cubra, o sea, como un tambor. Evidentemente, para poder retraer o encoger la goma al borde necesitaríamos «pincharla» por algún sitio. La demostración matemática no es trivial y requiere conocer el grupo fundamental (o de lazos) de la circunferencia, que veremos más adelante.

A continuación vemos la homotopía que lleva el plano menos un punto a una circunferencia.