Juego con tiras de papel

Esta entrada forma parte de la VI Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog de Sangakoo.

PROBLEMA:

Encuentra las diferencias topológicas entre estas dos superficies fabricadas con tiras de papel:

SOLUCIÓN:

La superficie de la izquierda es orientable, mientras que la de la derecha no lo es, por la cinta con medio giro que hemos añadido (esto da una cinta de Möbius). Observamos también que el borde de cada una de ellas consta de  una sola componente, ya que podemos recorrerlo de una sola vez.

Calculamos ahora sus correspondientes características de Euler, cuya fórmula viene dada por X = vértices-aristas+caras, a partir de las parcelaciones siguientes (con cualquier otra obtendremos el mismo resultado):

Para la primera superficie tenemos

• 6 rectángulos y 3 cuadrados = 9 caras
• 4 aristas por rectángulo = 24 aristas
• 4 por vértices por cuadrado = 12 vértices

Así la carácterística de Euler de la primera es  X = v-a+c = 12-24+9 = -3

En la segunda superficie tenemos:

• 9 rectángulos, 3 cuadrados y 2 triángulos = 14 caras
• 4 aristas por rectángulo = 36 aristas
• 4 vértices por cuadrado y 3 por triángulo = 18 vértices

Por tanto, X = 18-36+14 = -4

Por último, deducimos el género g de cada superficie a partir de las siguiente fórmulas:

• Caso orientable: X = 2-2g-r, si es una suma conexa de g toros con r agujeros (borde con r componentes);
• Caso no orientable: X = 2-g-r, si es una suma conexa de g planos proyectivos con r agujeros.

Para la primera superficie tenemos  r=1. Luego 2-2g-1 = -3, de donde g = 2. Se trata pues de un doble toro con un agujero.

Modificado a partir del doble toro en http://mathworld.wolfram.com/DoubleTorus.html

En la foto veréis un modelo con tiras de papel, junto con un doble toro. El agujero puede agrandarse hasta completar toda la parte blanca.

Y en la segunda superficie tenemos también r = 1. Luego X=2-g-1 = -4, de donde g = 5. Se trata pues de una suma conexa de 5 planos proyectivos con 1 agujero.

Ésta superficie, equivale a un doble toro con un agujero, sujetado por un asa con medio giro. Para verlo mejor podéis añadir un asa en el doble toro de la foto, e imaginar que se mueve hasta la primera tira a medida que se agranda el agujero.

Modificado a partir del doble toro en http://mathworld.wolfram.com/DoubleTorus.html

¿Alguien se anima a dar un método efectivo para clasificar superficies obtenidas pegando cintas de papel como en esta entrada? Espero propuestas con más ejemplos. Los bordes de estas superficies son en general enlaces.