Juegos topológicos

Curva de Hilbert con hilo

Posted on: enero 25, 2011

Esta entrada se ha aportado a la décima edición del
Carnaval de Matemáticas
, cuyo anfitrión es La Mula Francis

La curva de Hilbert es una curva fractal que rellena continuamente el cuadrado y es bien conocida por su uso en algoritmos de tramado de imágenes. Podéis ver una pequeña introducción a este tipo de curvas aquí.

Os dejamos en esta entrada una forma, creemos que original, de construir las primeras iteraciones de esta curva con hilo sobre una trama cuadriculada de alfileres. Ya que estamos en el X Carnaval de Matemáticas, ¿alguien se anima a llegar hasta la X iteración de esta curva, de una sola tirada de hilo? ¡Esto sería un record Guinness fijo! (VER NOTA AL FINAL)

Naturalmente, se puede aplicar este método a otras curvas fractales, como la curva de Sierpinski.

4ª iteración de la curva de Hilbert, con una sola tirada de hilo. Aquí, de los 256 alfileres que hay clavados, bastarían 206 para sujetar la curva (ver tabla al final)

Ver más imágenes:

5ª iteración de la curva de Hilbert, uniendo 4 tablas de la 4ª iteración. Una buena forma de ver cómo pasar de una iteración a la siguiente.

vista parcial de la 5ª iteración

Sobre el récord Guinness

La verdad es que he sido un poco exagerado con lo del récord Guinness. Si la distancia entre dos alfileres consecutivos fuese de 1 cm, necesitaríamos una tabla cuadrada de 10,24 metros de lado, y 838.862 alfileres (contando sólo los vértices de la curva), 1048575 cm de hilo, es decir casi 10 km y medio de hilo!

Os dejo esta tabla de valores hasta la 10ª iteración.

[CORREGIDO 25-2-2014: Long (cm)]

Iteración Lado (cm)
Long (cm) Alfileres
1 2 3 4
2 4 15 14
3 8 63 52
4 16 255 206
5 32 1023 820
6 64 4095 3278
7 128 16383 13108
8 256 65535 52430
9 512 278783 209716
10 1024 1048575 838862

Sea Alf(n) el número de vértices de la n-ésima iteración de la curva de Hilbert (es decir, el número de alfileres necesarios para sujetar la curva). Entonces, por construcción, Alf(n)=4*Alf(n-1) -2, si n es par, y Alf(n)= 4*Alf(n-1)-4, si n es impar. De aquí se deduce fácilmente que Alf(n) es igual a

(16^n+4)/5 si n es impar, o (4*16^n+6)/5 si n es par.

Observar en la tabla que el valor de Alf(n) se obtiene a partir de la longitud de la (n+1)-iteración, que es el cuadrado de 2^(n+1), sumando 4 o 6 para obtener un múltiplo de 5, y dividiendo por 5.

Volviendo al posible récord Guinness, lo que sí se podría intentar y veo más factible es construir la 8ª iteración, entre varias personas, juntando 16 tableros de 64 cm de lado, con 3278 alfileres y 40,96 metros de hilo cada uno, sería una auténtica maravilla…

MATERIAL PARA EL AULA DE MATEMÁTICAS:

5 comentarios to "Curva de Hilbert con hilo"

[…] José Luis Rodríguez Blancas (matemático y profesor en la Universidad de Almería) en “Curva de Hilbert con hilo,” Juegos topológicos, nos recuerda que muchas curvas fractales se pueden utilizar como […]

[…] acompañaban su mujer y 3 alumnos de la Facultad de Almería que nos enseñaron a realizar la curva de Hilbert con hilos y la esponja de Menger en […]

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