Curva de Hilbert con hilo

Esta entrada se ha aportado a la décima edición del
Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es La Mula Francis

La curva de Hilbert es una curva fractal que rellena continuamente el cuadrado y es bien conocida por su uso en algoritmos de tramado de imágenes. Podéis ver una pequeña introducción a este tipo de curvas aquí.

Os dejamos en esta entrada una forma, creemos que original, de construir las primeras iteraciones de esta curva con hilo sobre una trama cuadriculada de alfileres. Ya que estamos en el X Carnaval de Matemáticas, ¿alguien se anima a llegar hasta la X iteración de esta curva, de una sola tirada de hilo? ¡Esto sería un record Guinness fijo! (VER NOTA AL FINAL)

Naturalmente, se puede aplicar este método a otras curvas fractales, como la curva de Sierpinski.

4ª iteración de la curva de Hilbert, con una sola tirada de hilo. Aquí, de los 256 alfileres que hay clavados, bastarían 206 para sujetar la curva (ver tabla al final)

Ver más imágenes:

5ª iteración de la curva de Hilbert, uniendo 4 tablas de la 4ª iteración. Una buena forma de ver cómo pasar de una iteración a la siguiente.

vista parcial de la 5ª iteración

Sobre el récord Guinness

La verdad es que he sido un poco exagerado con lo del récord Guinness. Si la distancia entre dos alfileres consecutivos fuese de 1 cm, necesitaríamos una tabla cuadrada de 10,24 metros de lado, y 838.862 alfileres (contando sólo los vértices de la curva), 1048575 cm de hilo, es decir casi 10 km y medio de hilo!

Os dejo esta tabla de valores hasta la 10ª iteración.

[CORREGIDO 25-2-2014: Long (cm)]

Iteración	Lado (cm)	Long (cm)	Alfileres
1	2	3	4
2	4	15	14
3	8	63	52
4	16	255	206
5	32	1023	820
6	64	4095	3278
7	128	16383	13108
8	256	65535	52430
9	512	278783	209716
10	1024	1048575	838862

Sea Alf(n) el número de vértices de la n-ésima iteración de la curva de Hilbert (es decir, el número de alfileres necesarios para sujetar la curva). Entonces, por construcción, Alf(n)=4*Alf(n-1) -2, si n es par, y Alf(n)= 4*Alf(n-1)-4, si n es impar. De aquí se deduce fácilmente que Alf(n) es igual a

(16^n+4)/5 si n es impar, o (4*16^n+6)/5 si n es par.

Observar en la tabla que el valor de Alf(n) se obtiene a partir de la longitud de la (n+1)-iteración, que es el cuadrado de 2^(n+1), sumando 4 o 6 para obtener un múltiplo de 5, y dividiendo por 5.

Volviendo al posible récord Guinness, lo que sí se podría intentar y veo más factible es construir la 8ª iteración, entre varias personas, juntando 16 tableros de 64 cm de lado, con 3278 alfileres y 40,96 metros de hilo cada uno, sería una auténtica maravilla…

MATERIAL PARA EL AULA DE MATEMÁTICAS:

Enlaces:

Antenas fractales basadas en la curva de Hilbert, que se utilizan en tecnología RFID. (sugerido por Francisco R. Villatoros, blogger de «La Ciencia en La Mula Francis»)