Juegos topológicos

Esponja de Menger (tercera iteración)

Posted on: marzo 10, 2011

Esta entrada participa en la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas,
cuyo anfitrión es Gaussianos

En la entrada Esponja de Menger explicamos la forma teórica de construir este fractal, comenzando a partir de un cubo y extrayendo cubos cada vez más pequeños.  En el siguiente vídeo mostramos la construcción de la 3ª iteración por secciones (pulsa sobre la imagen para verlo):

Todas las piezas se han cortado a mano con cutter, de planchas de corcho blanco. Han hecho falta 27 planchas cuadradas de 2 cm grosor y 54 cm de lado cada una, bueno en realidad hacen falta menos, pero hemos tenido que rehacer bastantes piezas, ¿sabes cuántas? (mira el problema abajo). A todos los alumnos que han participado cortando y pegando las piezas, ¡muchas gracias por vuestro excelente trabajo!

Podéis ver más despacio el montaje en la siguiente presentación (cada foto es descargable):

El pase de diapositivas requiere JavaScript.

En la Semana de la Ciencia 2010 de la UAL, propusimos a estudiantes de secundaria montarla sin decirles cómo debían hacerlo. Para muchos supuso todo un reto.

Mariquita paseando por la esponja de Menger

Montando la esponja. Semana de la ciencia 2010 de la UAL

?

Problema

Ya sabemos que la n-ésima iteración de la esponja de Menger puede construirse pegando 20^n cubitos. En el IES Río Aguas (Sorbas, Almería) cortamos los 8000 cubitos que hacen falta para la 3ª iteración (podéis ver una foto aquí). Pero, no hace falta cortar para después tener que pegar. Es por este motivo que se nos ocurrió reconstruir la esponja, esta vez por secciones o pisos.

Llamemos v el volumen de un cubito (en nuestro caso v=4 cm^2, pues el grosor de la plancha era de 2 cm).

  1. La primera iteración consta de 4 piezas de 1v y 2 de 8v. Esto nos da 4*1+2*8=20.
  2. La 2ª iteración consta de 24 piezas de 1v, 16 piezas de 2v, 8 de 3v, 8 de 8v, y 4 de 64v, como podéis ver en el video de la 2ª iteración. Esta descomposición nos da (24*1+16*2+8*3+8*8+4*64) = 400=20^2.
  3. La tercera iteración tiene un volumen de 20^3=8000. ¿Podéis calcular la descomposición asociada?
  4. ¿Puedes encontrar una fórmula general para la n-ésima iteración?

8 comentarios to "Esponja de Menger (tercera iteración)"

[…] Cien años desde que se admitió a la mujer en la Universidad en Viaje a Ítaca con Manoli. – La esponja de Menger (tercera iteración) en Juegos […]

[…] Le acompañaban su mujer y 3 alumnos de la Universidad de Almería que nos enseñaron a realizar la curva de Hilbert con hilos y la esponja de Menger en corcho: […]

Juan Bragado ha realizado también, con sus alumnos del IES Historiador Chabàs de Denia, la esponja de Menger con 8000 cubos de corcho. Podéis ver el fantástico resultado en http://www.telefonica.net/web2/lasrotas/Matematicas.htm
Sería espectacular formar la 4ª iteración entre 20 centros…

[…] | Esponja de Menger (tercera iteración) « Juegos topológicos marzo 10, 2011 a 11:31 […]

[…] can also see some previous models of this famous fractal:  sponge to have a shower,  with foam, with 3D […]

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

Estadísticas del blog

  • 717,853 visitas

Síguenos en

Google translator

Sierpinski carpet project

Juego alicatado con hilos.

3D POLYFELT – POLIFIELTROS 3D

Primer Premio en Matemáticas 2014

Enlaces

Escribe tu dirección de correo electrónico para suscribirte a este blog, y recibir notificaciones de nuevos mensajes por correo.

Únete a otros 81 seguidores

Actualizaciones de Twitter

A %d blogueros les gusta esto: