Triacontaedro rómbico truncado y omnitruncado

¡Premio al la mejor entrada en la Edición 2.1415 del Carnaval de Matemáticas! 

Después de indagar un poco en el amplio mundo de los poliedros, creo que «Triacontaedro rómbico truncado y omnitruncado» sería un posible nombre para este poliedro que hemos montado con piezas de ZOME, el pasado 17 de mayo, con Isabel Romero y sus alumnos, en el seminario de Geoflexia de la UAL organizado por nuestro compañero Antonio Frías.

La montó por primera vez  Paul Van de Veen con ZOME en el verano de 2011, y lo intentamos nosotros después en noviembre del 2011, durante la Semana de la Ciencia de la UAL, con mis estudiantes de topología, pero entonces no tuvimos piezas suficientes para completarla, y nos quedamos con esta bonita cúpula:

El caso es que esta figura parece a primera vista una gran pelota de fútbol estándar «omnitruncada», y esa idea equivocada tenía yo desde entonces. La operación de omnitruncamiento no es nada más que truncar los vértices y biselar las aristas al mismo tiempo. Para entender bien esta operación veamos primero los omnitruncamientos del cubo y del dodecaedro, montados con piezas de Polifieltros 3D:

Cubo omnitruncado (conocido normalmente como cuboctaedro truncado), formado por 12 cuadrados, 8 hexágonos y 6 octógonos.

Como habréis observado ya, en la operación de omnitruncamiento aparecen nuevas caras: una por cada vértice (con el doble de lados como aristas concurran en el vértice) y otra cara cuadrada por cada arista del poliedro original.  Además, cada cara del poliedro original da lugar a una cara más pequeña con el doble de lados. Así, por ejemplo, el cubo omnitruncado tendrá

• 8 hexágonos (por los 8 vértices del cubo),
• 12 cuadrados (por las 12 aristas del cubo), y
• 6 octógonos (por las 6 caras cuadradas del cubo).

Arriba en la foto hemos contado ya las caras del dodecaedro omnitruncado. ¿Sabríais ver quien es el tetraedro omnitruncado? Mira la respuesta aquí.

Es curioso observar que el número de aristas a del poliedro original, determina el número de vértices, aristas y caras de su correspondiente omnitruncado:

• Número de vértices: 4a 
• Número de aristas: 6a
• Número de caras: 2a+2

La operación de omnitruncamiento se puede hacer  también con las teselaciones planas. Por ejemplo, en la siguiente imagen vemos la teselación semiregular 4 6 12, que es el omnitruncamiento de la teselación regular hexagonal 6 6 6.

Teselación semiregular 4 6 12, realizada en la asociación de niños de altas capacidades HAD, Valencia. La teselación original hexagonal 666 tenía sus vértices en los centros de los hexágonos. Para teselaciones hiperbólicas tenemos, por ejemplo, que el omnitruncamiento de 777 es éste.

Hemos dicho al principio que la figura que hemos montado con ZOME es el omnitruncamiento del triacontaedro rómbico truncado, y que éste se parecía a una pelota de fútbol, pero no son exactamente iguales, de hecho los hexágonos del triacontaedro rómbico truncado son irregulares, a diferencia de la pelota de fútbol normal, que sí son regulares. Incluimos aquí los dos para que veáis las diferencias (imágenes de Wikipedia):

Icosaedro truncado. En química se denomina fullereno C60. Tiene 60 vértices, 90 aristas, 12 pentágonos y 20 hexágonos regulares

Triacontahedro rómbico truncado. En química se denomina fullereno C80. Tiene 80 vértices, 120 aristas, 12 pentágonos y 30 hexágonos (regulares e irregulares).

Por la irregularidad de los hexágonos, al aplicar la operación de omnitruncamiento nos apareceran rectángulos en vez de cuadrados,  y hexágonos y dodecágonos irregulares (los vértices donde concurrián tres  hexágonos, sí darán lugar a hexágonos regulares).

Antes de ver más fotos, dejadme que os indique que el triacontaedro rómbico truncado  es el truncado del triacontaedro rómbico. Hay que aclarar que sólamente se truncan los vértices de orden 5, tendría que llamarse pues «pentatruncado».

Triacontaedro rómbico, formado por 30 rombos (cuyas diagonales están en proporción áurea).

Para más información, y para quienes conzcan los poliedros arquimedianos y sus duales llamados sólidos de Catalan, este triacontaedro rómbico es el dual del icosidodecaedro:

En fin, os dejo ya con fotos de la sesión en la que disfrutamos todos montando el triacontaedro rómbico truncado y omnitruncado:

Pulsa sobre la imagen para ver más fotos. Sólo falta que averigüéis, cuantos vértices, aristas y caras tiene esta figura. Y por otro lado, cuántas aristas de cada color hay. Podéis responder en el grupo de facebook, si queréis.

Esta figura también puede verse como el zonoedro generado por los ejes de simetría de un icosaedro (mira zonoedro 31 en [6]), pero esto lo dejaremos para otra entrada.

Con polígonos regulares de Polifieltros 3d se puede hacer también esta figura, aunque con arrugas. Para mantener la forma casi esférica necesitaríamos hinchar un globo gigante en su interior, cosa que veo difícil. Pero, ¿quién sabe si algún día lo conseguiremos? De momento os dejo esta foto del sofá de mi casa decorado con una cuarta parte del triacontaedro rómbico truncado y omnitruncado, ¿os imagináis lo gigante que puede llegar a ser?:

Referencias:

[1] Poliedros, de Carlos Ivorra: http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Poliedros.pdf

[2] Operaciones de Conway: http://en.wikipedia.org/wiki/Conway_polyhedron_notation

[3] Triacontaedro rómbico truncado, Fullereno 80
http://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_rhombic_triacontahedron

[4] Simply differtly.org. Una curiosa página sobre tiendas de campaña, yurtas y cúpulas basada en construcciones geométricas. http://simplydifferently.org/Geodesic_Polyhedra?page=6#Geodesic Truncated Cube

[5] Zonohedra and zonotopes http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/ukraine/ukraine.html

[6] Zonhedra, de George Hart
http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/zonohedra-index.html

[7] Más fullerenos http://en.wikipedia.org/wiki/Fullerene

[8] Fullerene chemistry http://www.sivakrishna.com/full.html

PD: Esta entrada participa en la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Gaussianos.