Juegos topológicos

Superficies de Scherk

Posted on: febrero 24, 2013

Las superficies de Scherk son dos familias famosas de superficies minimales. Fueron descubiertas por el matemático alemán  Heinrich Scherk en 1834. Hasta ese momento, solo se conocian el catenoide y el helicoide (estudiados por Leonard Euler en 1744 y Jean Baptiste Meusnier en 1776, respectivamente).

La primera de las familias de Scherk se obiente acoplando sillas de montar, con borde  8 aristas del cubo, como la que os mostramos a continuación:

Sara en la IX Feria de la Ciencia de Sevilla, el 15 de mayo de 2011.

Podéis verla realizada en pompa de jabón en un cubo de Zome, por ejemplo aquí.

La correspondiente superficie de Scherk con 5 copias, en una cuadrícula de 3×3, la podemos ver en esta imagen de Erminia Naccarato, en Wikipedia:

¡Y sí, también se puede hacer con pompa de jabón!

Es impresionante ver cómo la lámina de jabón cambia de lado cuando separamos las líneas paralelas, ¿verdad?

El número de copias se puede extender hasta el infinito en ambas direcciones, bordeando a dos familias de rectas paralelas, que se cruzan perpendicularmente.

¿Alguien se anima a realizar superficies de Scherk, con pompa de jabón, que contengan más unidades?

 La segunda familia de superficies minimales que descubrió Scherk, la encontramos también en wikipedia, esta vez bordea a 4 lineas paralelas (habiendo versiones de más lineas paralelas, e incluso de forma circular).

Fuente Wikipedia.

Parece imposible obtener estas superficies con pompa de jabón, por los huecos que aparecen en medio.  De hecho no tenemos constancia que nadie  las haya realizado (Si alguien conoce alguna referencia, estaremos encantados de incluirla aquí).

Quizá algún día probemos con alguna variante cíclica, como las que ha esculpido en madera Brent Collins (y Séquin):

http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/SCULPTS/scherk.html

Lo dejaremos en suspense…

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1. del Carnaval de Matemáticas de febrero cuyo blog anfitrión es Tito Eliatrón

4 comentarios to "Superficies de Scherk"

Un trozo de la superficie de Scherck es, salvo constantes, el grafo de la función f(x,y)=log(cos(x)/cos(y)). Es curioso, pues, cómo uno puede ver (¡con los ojos!) las funciones logaritmos y cosenos. También dichas superficies son importantes a la hora de encontrar grafos de superficies minimales, concretamente, para resolver la ecuación minimal en un dominio acotado: sirven como superficides barreras, y su utilidad procede de que la superficie de Scherk es vertical (+infinito o -infinito) en los bordes del cuadrado.

Gracias por el comentario Rafa!

[…] la entrada Superficies de Scherk dejábamos abierta la (remota) posibilidad de obtener la segunda familia de superficies de Scherk […]

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