Doble toro en un video de Diana Davis

En el video “Cutting Sequences on the Double Pentagon, explained through dance“, de Diana Davis, vemos a una chica bailando en un doble pentágono. Las aristas del borde están identificadas, de manera que cuando la chica sale por una arista de un color dado, aparece automáticamente por la otra arista del mismo color. El efecto es realmente fantástico. Estudiar las trayectorias, incluso “rectas” en esta figura, es interesante y así nos lo muestra Diana.

El objetivo de esta entrada es mostrar que la superficie topológica por la que se mueve esta bailarina es un doble toro (superficie orientable de género 2). Tal y como menciona Diana en su artículo,el género puede calcularse fácilmente a partir de la característica de Euler. En efecto, en este caso tenemos 1 vértice, 4 aristas y 1 cara, luego la característica de Euler vale -2. Igualamos este valor a 2-2g, y obtenemos g=2. 

Pero hay otra forma ver que es un doble toro cortando y pegando la superficie adecuadamente. Empezando por el doble pentágono cuya palabra asociada es abcda^{-1}b^{-1}c^{-1}d^{-1}, cortamos por e=ab y pegamos por a. Después cortamos por f=cdb y pegamos por  b. Se llega así a una superficie, un tanto rara cuya palabra asociada es la de un doble toro efe^{-1}f^{-1}cdc^{-1}d^{-1} . Esto nos lo ilustran detalladamente José Luis Gutiérrez y Daniel Canovas, dos alumnos de Matemáticas de la Universidad de Almería en este video, como trabajo de mi asignatura “Introducción a la topología algebraica”.

Esta entrada participa en la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.

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