Juegos topológicos

El área de la esponja de Menger

Posted on: febrero 24, 2014

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Primera iteración de la esponja de Menger, con cuadrados de Polifieltros 3D.

La esponja de Menger es conocida por ser un fractal sin volumen y con área infinita. Su dimensión fractal es \frac{log(20)}{log(3)}.

  • La n-ésima iteración está formada por 20^n cubos de lado 3^{-n} luego su volumen es 20^n 3^{-3n}=(20/27)^{n} que tiende a 0 cuando n tiende a infinito. Por eso decimos que no tiene volumen ( o que su volumen es 0).
  • Pero sin embargo, como fractal tiene dimensión entre 2 y 3.  Si partimos un cubo en cubitos de lado 1/k, obtendremos exactamente k^3 cubitos. Ese exponente 3 es la dimensión del cubo. Esto permite generalizar el concepto de “dimensión” a otros objetos formados por cubitos. Por ejemplo, para la n-ésima iteración de la Esponja de Menger necesita 20^n = k^d cubitos de lado 1/k donde k=3^{-n}. Tomando logaritmos obtenemos el valor de  d=\frac{log(20)}{log(3)} \sim 2,7268.
  • A continuación probaremos que el número de cuadrados de la (superficie de la) n-esima iteración es 2^{2n+1}(2^{n+1}+5^n) luego el área será 2^{2n+1}(2^{n+1}+5^n)3^{-2n} que en el límite da infinito.

Mientras montábamos la primera iteración con cuadrados de Polifieltros 3D con  David Crespo Casteleiro, nos surgió la idea de cómo calcular fácilmente el número de cuadrados necesarios para la 2ª iteración. Desafortunadamente, vimos que eran 1056 y que no teníamos tantos en ese momento, así que tendremos que esperar a coserguirlos primero … Esperamos eso sí, poder montarla en la próxima Feria de la Ciencia de Sevilla en nuestro proyecto “Juegos y joyas fractales”, con David Crespo, Carmen Sánchez, Lidia García, Buensuceso Guzmán y Dolores Jiménez.

Elegimos 6 colores para formar la esponja, un color por cada cara del cubo,  de manera que todos los cuadrados que miren a esa cara tengan el mismo color. Contemos ahora los cuadrados de cada color.

Por ejemplo (véase foto arriba), en la primera iteración hemos usado: 8 cuadrados exteriores amarillos en una cara, más otros 4 cuadrados amarillos interiores (que miran a esa misma cara), por 6  colores, 72 cuadrados en total.

En la segunda iteración, tendremos 8^2 cuadrados exteriores en una cara. El número de cuadrados interiores será la suma de 8*4 correspondientes a las caras externas de las 4 copias de la primera iteración que están a la vista, más otros 20*4 cuadrados interiores correspondientes a los cuadrados interiores de las 20 copias de la primera iteración. Así, tendremos  8*4+20*4=112 cuadrados interiores, y en total necesitaremos  (8^2+112)6= 1056 cuadrados.

En general, el número de cuadrados interiores se define iteradamente como:

I_0=0; I_n=(8^{n-1}\cdot 4+20\cdot I_{n-1})

y el número total de cuadrados de la n-ésima iteración será:

C_n=(8^n+I_n)6.

Dejamos como ejercicio deducir que el número de cuadrados es:

C_n=2^{2n+1}(2^{n+1}+5^n).

El crecimento de C_n es realmente bárbaro: 72, 1056, 18048, 336384, 6531072, 129048576, 2568388608, 51267108864, 1024536870912, 20484294967296, …

Mientras redactábamos esta entrada, hemos encontrado esta imagen de Robert M. Dickau que sigue el colorido propuesto anteriormente.

Para realizar esta 3a iteración necesitaríamos 18048 cuadrados, que vemos imposible por el momento. Como hemos dicho antes, intentaremos al menos construir la 2a iteración que necesita (y no son pocos) 1056 cuadrados.

Podréis ver más construcciones con cuadrados en la página de Polifieltros 3D, como por ejemplo este cubo Soma que sostiene David Crespo, o un dodecaedro (no convexo) con pentágonos hiperbólicos (formados por 5 cuadrados cada uno) que maneja Lidia García:

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Esta entrada participa en la edición 5.1 Rey Pastor del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Tito Eliatron

6 comentarios to "El área de la esponja de Menger"

Buena tarde. Soy profesor de Matemáticas y Física. Me encantan este tipo de experiencias que posibilitan el entendimientos y acercamiento real a tan grande disciplina. Les agradezco mucho por esta innovación y espero poder usarla para apoyar mi trabajo de maestría. En el caso que pudiera obtener más de esta información relacionada con la enseñanza de la geometría a partir de los fundamentos topológicos, les estaría inconmensurablemente agradecido.

[…] El área de la esponja de Menger […]

De donde salen esos numeros de la formula?!?! No entiendo. Expliquenme porfa.

La fórmula para C_n se consigue primero calculando la de I_n, y esta es iterativa, hay que ir substituyendo I_{n-1} en la de I_n, y así sucesivamente.

[…] Ver esponja de Menger en el IES Francisco Montoya. Con más detalles en este blog. […]

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