Grupo fundamental de 2-complejos

Si queremos hallar el grupo fundamental de un 2-complejo X basado en un punto x₀, lo primero que debemos hacer es elegir dicho punto y enumerar todos los vértices.  A continuación, hallaremos un árbol maximal. (Recordemos que un árbol es un grafo conexo que no contiene caminos de aristas cerrados. Por otro  lado, se dice que es maximal cuando contiene todos los vértices del grafo). Lo siguiente es determinar los generadores. Esto se hace partiendo del punto x₀ y volviendo a él tras recorrer una de las aristas que quedan fuera del árbol maximal (sólo podemos salir del árbol maximal para recorrer dicha arista). Por último, se obtienen las relaciones, que se corresponden con las 2-celdas del 2-complejo; el borde de cada 2-celdas es un lazo equivalente al lazo constante en x₀.

Nota: El número de generadores coincide con el número de aristas que no pertenecen al árbol maximal y el número de relaciones coincide con el número de 2-celdas que tiene el 2-complejo.

A continuación vamos a ver algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Como sólo hay un vértice, el árbol maximal está formado por el punto x_0 unicamente. Los generadores serán a y b y las relaciones son:

bb^-1=1, aa^-1=1, aba^-1b^-1=1

de la última relación obtenemos que ab = ba, es decir, el grupo es conmutativo.

Por tanto, el grupo fundamental es: π(X,x₀) = <a,b | ab = ba>, que es isomorfo a Z x Z.

Ejemplo 2:

De nuevo, el árbol maximal está formado por un solo vértice, x_0. Los generadores son a, b y c y las relaciones son:

acb = 1, abc^-1= 1, ab^-1 = 1, de donde obtenemos que a=b, a²=c, a⁴=1.

Por tanto, el grupo fundamental es: π(X,x₀) = <a |a⁴=1>, que es isomorfo a Z_4.

Ejemplo 3:

No hay árbol maximal. Los generadores son a y b y las relaciones son:

a²=1, b²=1, aba^-1b^-1=1

de la última relación obtenemos que ab = ba, es decir, es conmutativo.

Por tanto, el grupo fundamental es: π(X,x₀) = <a,b |a²=1, b²=1, ab=ba>, que es isomorfo a Z₂ x Z₂.

Alumnos:

Aurelio González Molina

Juan Francisco Alonso Martinez