Clasificación de una superficie dada por una palabra

Posted by: jesuscastilloo on: febrero 4, 2018

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A continuación se muestra un ejercicio resuelto en el que se procede a clasificar una superficie dada por una palabra, mediante dos métodos: primero utilizando la característica de Euler y segundo utilizando el abelianizado del grupo fundamental. La superficie se construye a partir de un polígono identificando las aristas del borde según reza dicha palabra.

Ejercicio. Clasifique la superficie dada por la palabra, mediante la característica de Euler:

Solución

Orientabilidad: La superficie no es orientable ya que contiene una banda de Möbius (véase la repetición de la letra c). En ese caso,

Agujeros: No tiene agujeros, es decir, el número de componentes en el borde r=0.

Género: 

1. Vértices = 3 (*);
2. Aristas = 6 (tantas como letras distintas) ;
3. Caras =1 (tantas como palabras);

*El número de vértices es 3 ya que:




donde los subíndices indican los vértices inicial y final de cada arista. Por tanto, como la superficie no es orientable, se tiene

Entonces

Es decir,

Clasificación: Suma conexa de 4 planos proyectivos, 

 

A continuación clasificaremos la superficie calculando el abelianizado del grupo fundamental.

Recordamos la superficie dada mediante la palabra:

Solución

Dibujamos el 1-esqueleto a partir de la palabra

Obteniendo así:

Árbol maximal Está formado por las aristas a y d (árbol que une todos los vértices, véase de color morado en el 1-esqueleto).

Generadores: 

Renombramos los generadores

y

Relación: 

Transformamos la palabra para expresarla en función de los generadores

entonces

Ahora, considerando

Sustituyendo

Por ello, el grupo fundamental viene dado por

Luego el abelianizado

es decir,

Finalmente, como la superficie es no orientable, obtenemos

donde m es el número de Z´s obtenidos en el abelianizado.

Por lo tanto la superficie es la suma conexa de cuatro planos proyectivos,

 

 

Alumno: Jesús Castillo Fernández.

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