Clasificación de una superficie dada por una palabra

A continuación se muestra un ejercicio resuelto en el que se procede a clasificar una superficie dada por una palabra, mediante dos métodos: primero utilizando la característica de Euler y segundo utilizando el abelianizado del grupo fundamental. La superficie se construye a partir de un polígono identificando las aristas del borde según reza dicha palabra.

Ejercicio. Clasifique la superficie dada por la palabra, mediante la característica de Euler:

$f{ d }^{ -1 }ac{ a }^{ -1 }bc{ b }^{ -1 }de{ f }^{ -1 }{ e }^{ -1 }$

Solución

Orientabilidad: La superficie no es orientable ya que contiene una banda de Möbius (véase la repetición de la letra c). En ese caso,

Agujeros: No tiene agujeros, es decir, el número de componentes en el borde r=0.

Género:

Vértices = 3 (*);
Aristas = 6 (tantas como letras distintas) ;
Caras =1 (tantas como palabras);

*El número de vértices es 3 ya que:

donde los subíndices indican los vértices inicial y final de cada arista. Por tanto, como la superficie no es orientable, se tiene

Entonces

Es decir,

Clasificación: Suma conexa de 4 planos proyectivos,

A continuación clasificaremos la superficie calculando el abelianizado del grupo fundamental.

Recordamos la superficie dada mediante la palabra:

Solución

Dibujamos el 1-esqueleto a partir de la palabra

Obteniendo así:

Árbol maximal Está formado por las aristas a y d (árbol que une todos los vértices, véase de color morado en el 1-esqueleto).

Generadores: $e, f, { d }^{ -1 }ac{ a }^{ -1 }d, { d }^{ -1 }b{ a }^{ -1 }d$

Renombramos los generadores

$C={ d }^{ -1 }ac{ a }^{ -1 }d$

$B={ d }^{ -1 }b{ a }^{ -1 }d$

Relación: $f{ d }^{ -1 }ac{ a }^{ -1 }bc{ b }^{ -1 }de{ f }^{ -1 }{ e }^{ -1 }$

Transformamos la palabra para expresarla en función de los generadores

$f{ d }^{ -1 }ac{ a }^{ -1 }(d{ d }^{ -1 })bc{ b }^{ -1 }de{ f }^{ -1 }{ e }^{ -1 }$

entonces

$fC{ d }^{ -1 }bc{ b }^{ -1 }de{ f }^{ -1 }{ e }^{ -1 }$

Ahora, considerando

${ d }^{ -1 }bc{ b }^{ -1 }d={ d }^{ -1 }b({ a }^{ -1 }d)({ d }^{ -1 }a)c{ b }^{ -1 }d=B{ d }^{ -1 }ac{ a }^{ -1 }d{ d }^{ -1 }a{ b }^{ -1 }d=BC{ B }^{ -1 }$

Sustituyendo