Juegos topológicos

Clasificación de una superficie dada por una palabra

Posted on: febrero 4, 2018

A continuación se muestra un ejercicio resuelto en el que se procede a clasificar una superficie dada por una palabra, mediante dos métodos: primero utilizando la característica de Euler y segundo utilizando el abelianizado del grupo fundamental. La superficie se construye a partir de un polígono identificando las aristas del borde según reza dicha palabra.

Ejercicio. Clasifique la superficie dada por la palabra, mediante la característica de Euler:

f{ d }^{ -1 }ac{ a }^{ -1 }bc{ b }^{ -1 }de{ f }^{ -1 }{ e }^{ -1 }

Solución

Orientabilidad: La superficie no es orientable ya que contiene una banda de Möbius (véase la repetición de la letra c). En ese caso,

Agujeros: No tiene agujeros, es decir, el número de componentes en el borde r=0.

Género: 

  1. Vértices = 3 (*);
  2. Aristas = 6 (tantas como letras distintas) ;
  3. Caras =1 (tantas como palabras);

*El número de vértices es 3 ya que:

{ _{ 1 }{ f }_{ 1 } }{ { d }^{ -1 } }_{ 2 }{ a }_{ 3 }{ c }_{ 3 }{ { a }^{ -1 } }_{ 2 }{ b }_{ 3 }{ c }_{ 3 }{ { b }^{ -1 } }_{ 2 }{ d }_{ 1 }{ e }_{ 1 }{ { f }^{ -1 } }_{ 1 }{ { e }^{ -1 } }_{ 1 }

donde los subíndices indican los vértices inicial y final de cada arista. Por tanto, como la superficie no es orientable, se tiene

\chi (Ng):=2-g\\

\chi =v-a+c=3-6+1=-2

Entonces

2-g=-2

Es decir,

g=4

Clasificación: Suma conexa de 4 planos proyectivos, 4{ P }^{ 2 }.

 

A continuación clasificaremos la superficie calculando el abelianizado del grupo fundamental.

Recordamos la superficie dada mediante la palabra:

{ _{ 1 }{ f }_{ 1 } }{ { d }^{ -1 } }_{ 2 }{ a }_{ 3 }{ c }_{ 3 }{ { a }^{ -1 } }_{ 2 }{ b }_{ 3 }{ c }_{ 3 }{ { b }^{ -1 } }_{ 2 }{ d }_{ 1 }{ e }_{ 1 }{ { f }^{ -1 } }_{ 1 }{ { e }^{ -1 } }_{ 1 }

Solución

Dibujamos el 1-esqueleto a partir de la palabra

1-Esqueleto.png

Obteniendo así:

Árbol maximal Está formado por las aristas a y d (árbol que une todos los vértices, véase de color morado en el 1-esqueleto).

Generadores:  e, f, { d }^{ -1 }ac{ a }^{ -1 }d, { d }^{ -1 }b{ a }^{ -1 }d

Renombramos los generadores

C={ d }^{ -1 }ac{ a }^{ -1 }d

y

B={ d }^{ -1 }b{ a }^{ -1 }d

Relación: f{ d }^{ -1 }ac{ a }^{ -1 }bc{ b }^{ -1 }de{ f }^{ -1 }{ e }^{ -1 }

Transformamos la palabra para expresarla en función de los generadores

f{ d }^{ -1 }ac{ a }^{ -1 }(d{ d }^{ -1 })bc{ b }^{ -1 }de{ f }^{ -1 }{ e }^{ -1 }

entonces

fC{ d }^{ -1 }bc{ b }^{ -1 }de{ f }^{ -1 }{ e }^{ -1 }

Ahora, considerando

{ d }^{ -1 }bc{ b }^{ -1 }d={ d }^{ -1 }b({ a }^{ -1 }d)({ d }^{ -1 }a)c{ b }^{ -1 }d=B{ d }^{ -1 }ac{ a }^{ -1 }d{ d }^{ -1 }a{ b }^{ -1 }d=BC{ B }^{ -1 }

Sustituyendo

fCBC{ B }^{ -1 }e{ f }^{ -1 }{ e }^{ -1 }=1

Por ello, el grupo fundamental viene dado por

\pi (X,1)=<f,C,B,e|fCBC{ B }^{ -1 }e{ f }^{ -1 }{ e }^{ -1 }=1>

Luego el abelianizado

Ab(\pi (X,1))=<f,C,B,e|f+C+B+C-B+e-f-e=0>

es decir,

Ab(\pi (X,1))=<f,C,B,e|2C=0>\cong Z\times Z\times Z\times { Z }_{ 2 }

Finalmente, como la superficie es no orientable, obtenemos

g=m+1=4

donde m es el número de Z´s obtenidos en el abelianizado.

Por lo tanto la superficie es la suma conexa de cuatro planos proyectivos, 4{ P }^{ 2 }.

 

 

Alumno: Jesús Castillo Fernández.

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