Juegos topológicos

Ejemplos de entornos de cocientes de un tetraedro

Posted on: febrero 5, 2018

En esta entrada se va a trabajar con entornos de 2-complejos, obtenidos al identificar dos a dos, las aristas de un tetraedro (sólamente las aristas). La idea es que se vea el proceso de construcción de la figura para ayudar a visualizarla y que pueda servir para otros casos. El objetivo es conseguir realizar un entorno en una figura de papel.

Primer entorno:

Dado un tetraedro, colocamos la orientación y las letras (dos a dos), a, b y c, en las aristas de cualquier forma. En nuestro primer ejemplo vendrá dada de la siguiente forma:

foto1

Vistas frontal y trasera

En primer lugar vemos cuántos vértices (0-celdas) tiene nuestro 2-complejo, en este caso, sólo habrá uno.  Habrá 3 aristas (1-celdas) y 4 caras (2-celdas).

Llamemos a1, b1 y c1 el comienzo  y a2, b2 y c2 el final, según la orientación dada de a, b y c, respectivamente.

En segundo lugar, reunimos todos nuestros entornos juntos y vamos observando uno a uno. Es importante buscar si hay dos o más iguales pues estos serán los primeros en unirse y así será más fácil de visualizar la figura final. Observamos la siguiente foto:

Optimized-caso1 1

Podemos ver que hay 4 entornos que son iguales dos a dos. Éstos formarán dos conos con el mismo vértice:
Optimized-caso1 a

De momento vamos a dejar a un lado los dos conos formados en la foto anterior. Reunimos los entornos restantes y volvemos a mirar detenidamente:

Optimized-caso1 4
Esta parte del proceso suele ser la más complicada puesto que ya no hay entornos idénticos. En este caso, para proceder, como los conos anteriores estaban formados por las letras b1,c1 y b2,c2, vamos a juntar los restantes por a1 y a2 de forma que cada borde sea de un cono diferente, es decir, que sean b1, c1, b2 o c2,  véase en la siguiente foto:

Optimized-caso1 7
A continuación, unimos los dos conos con los dos entornos de b1 y b2  que hemos formado en la anterior fotografía. Se queda con la forma siguiente:Optimized-caso1 9

Hacemos lo mismo con los otros dos entornos que faltan, de forma que después los dos a1 y los dos a2 puedan unirse con facilidad y sin cruces.
Finalmente obtenemos la figura final:

Optimized-caso1 b

Segundo entorno:

Dado el tetraedro siguiente,

foto2

Análogo al primer ejemplo, empezamos viendo cuantos vértices tiene y sacamos los entornos del 2-complejo y  observamos si hay entornos iguales:

caso2 1-min

Podemos observar que hay dos casos en los que sus propias aristas son las mismas letras, b1b1 y c2c2, luego comencemos formando estos dos primeros conos:

caso2-2-min.jpgSeguidamente observamos los restantes, comprobando si hay dos o más iguales. Encontramos 6 entornos en los que son iguales 2 a 2:

caso2 a

 

Dos conos de la foto anterior contienen las aristas c2 y b1 puesto que nuestros conos del principio son con las mismas aristas, se unirán. Enlazamos los entornos restantes de forma que una todas las figuras creadas, como vemos en la foto siguiente es fácil darse cuenta que los entornos restantes pueden unirse con dos conos:

 

caso2-6-min.jpg

Finalmente obtenemos la figura final:caso2 b

Como conclusión, podemos observar que,  dependiendo de la orientación de las letras en el tetraedro inicial, el resultado final será distinto. Esto puede ocasionar que en unos casos sea más enrevesado ver el entorno del 2-complejo que otros, sobre todo si hacemos este ejercicio escrito.

Autoras:

Cristina Soto y Elena Bueno Benito

 

 

 

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