Juegos topológicos

Ejemplo de retracto de deformación que no es retracto de deformación fuerte

Posted on: marzo 26, 2018

En esta entrada veremos un ejemplo de retracto de deformación que no es retracto de deformación fuerte. Consideraremos el espacio famoso del ‘peine y la pulga’ dado por:

Χ=(∪{1/n}x[0,1])∪({0}x[0,1])∪([0,1]x{0}) , donde n∈Ν. Veamos una representación del espacio para algunos naturales.

Pulga y peine

Donde el punto rojo que hemos señalado es la ‘pulga’. Queremos probar que es un retracto de deformación pero no retracto de deformación fuerte. Pero, ¿qué son estos conceptos? Definámoslos:

  • Retracto de deformación: Un subconjunto A de X se dice que es un retracto de deformación si existe una retracción r: X → A y una homotopía F:  X x I → A tal que F(x,0)=x y F(x,1)= i(r(x)) donde i denota la aplicación inclusión de A a X.
  • Retracto de deformación fuerte: Un retracto de deformación se dice que es fuerte cuando para cualquier elemento de A en cualquier ‘tiempo’ t se cumple que F(a,x)=a. Es decir, A es invariante por F, coloquialmente diremos que A ‘no se mueve’.

Consideremos A={(0,1)}, es decir llevaremos todo a la ‘pulga’. Supongamos que es retracto de deformación fuerte y llegaremos a una contradicción. Para ello, consideremos la siguiente homotopía:

Homotopia

Con F((x,y),0)=(x,y), F((x,y),1)=(0,1) y para todo t, F((0,1),t)=(0,1).

Donde el primer trozo consiste en ‘bajar los peines’ al eje x, el segundo nos lleva todo al (0,0) y el tercero nos lo lleva a la pulga.

Consideremos ahora una ‘púa’ del peine cualquiera y la primera, la que contiene a la pulga, como vemos en la siguiente imagen. 

Pua pulga peine

Vemos 3 partes diferenciadas, el punto rojo es el punto (0,1), es decir, la pulga y el final de nuestra retracción. El punto verde tiene coordenadas (1/n,1) y el azul (1/n,0). Llamemos a esto Un. Consideremos el camino que une (sin salirnos del espacio) (1/n,1) con (0,1). A simple vista en la imagen podemos ver que es conexo y, por lo tanto, como la homotopía F es continua, F((1/n),I) será tambien conexo, ya que la imagen de un conexo por una función continua es también conexo. Entonces, al ser conexo, contiene al mínimo conexo.

Consideremos tn el instante en el que hemos pasado a través de nuestra homotopía por el punto (1/n,0) y, por tanto, F((1/n,1),tn)=(1/n,0).

Consideremos una subsucesión convergente t_{n_k}\to t_0. Así, tenemos que F((1/n_k,1),t_{n_k}) tiende a dos valores distintos (0,0) y (0,1) dependiendo de cuando apliquemos el límite cuando n tiende a infinito. Esto es:

Final

Como vemos, hemos llegado a una contradicción, ya que al ser F continua, ambos límites deberían haber coincidido. Por tanto, no es retracto de deformación fuerte, como queríamos demostrar.

En esta otra entrada de mis compañeros Jorge Bravo Cobos, Felipe Flores Salcedo y Andrés Mateo Piñol podréis ver la animación al final, así como otras contraejemplos interesantes.

Alumno: FRANCISCO CRIADO MARTÍNEZ

Anuncios

1 Response to "Ejemplo de retracto de deformación que no es retracto de deformación fuerte"

[…]      Como vemos, es claramente retracto de deformación del peine y la pulga a {(0,1)} pero requiere que movamos el punto {(0,1)}. La demostración podéis verla en esta otra entrada de nuestro compañero Francisco Criado. […]

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s

Estadísticas del blog

  • 823.847 visitas

Síguenos en

Google translator

Geometry in Virtual Reality

AR Platónic Solids

Disfruta de un montón de figuras en realidad aumentada.

App Surface Projection

A new app to play topology. Get it for free filling https://goo.gl/ZxAkga

Sierpinski carpet project

Juego alicatado con hilos.

3D POLYFELT – POLIFIELTROS 3D

Premiados en 2012, 2013, 2014, 2015, 2017

Enlaces

Escribe tu dirección de correo electrónico para suscribirte a este blog, y recibir notificaciones de nuevos mensajes por correo.

Únete a otros 81 seguidores

Actualizaciones de Twitter

Error: Twitter no responde. Por favor, espera unos minutos y actualiza esta página.

Anuncios
A %d blogueros les gusta esto: