Juegos topológicos

Retractos y retractos de deformación: fuertes y débiles.

Posted on: marzo 26, 2018

¡Muy buenas a tod@s!

     Somos Felipe, Jorge y Andrés y hoy queremos aprovechar esta entrada en el blog para hablaros sobre algo que tratamos en profundidad en este curso: las retracciones. Para ello, nos hemos basado en el libro de texto Kosniwoski y los apuntes de la asignatura.

     Lo primero sería recordar qué es una homotopía. Dos aplicaciones continuas 𝑓, 𝑔: 𝑋→𝑌 se dicen homotópas (escribimos f~g) si existe otra aplicación continua 𝐻, llamada homotopía para la cual, 𝐻=𝑋×[0,1]→𝑌 , con 𝐻(𝑥,0)=𝑓(𝑥) y 𝐻(𝑥,1)=𝑔(𝑥). Esto define una relación de equivalencia, que es esencial en Topología Algebraica, y que nos permite clasificar aplicaciones, así como espacios topológicos desde un punto de vista menos estricto que el de homeomorfismo: dos espacios X e Y se dice que son del mismo tipo de homotopía u homotópicamente equivalentes si existen aplicaciones continuas f: X→Y, g: Y→X, tales que g∘f~𝐼𝑑X y f∘g~𝐼𝑑Y.Vamos a describir algunas situaciones particulares que se establecen entre un espacio y un subespacio del mismo:

  • Simplemente conexo: Un espacio topológico X es simplemente conexo si es conexo por caminos y toda aplicación continua  𝑓:[0,1]→𝑋 que sea un lazo, es decir, que verifique 𝑓(0)=𝑓(1)=𝑝 para algún 𝑝∈𝑋, es contráctil de forma continua a dicho punto mediante una homotopía 𝐻:[0,1]×[0,1]→𝑋 tal que  𝐻(𝑠,0)=𝑓(𝑠) y 𝐻(𝑠,1)=𝑝.
  • Contráctil: Un espacio X se dice contráctil si la aplicación identidad sobre X, es homótopa a una aplicación constante. (Los espacios contráctiles son siempre simplemente conexo, pero no a la inversa, como la esfera S^2).
  • Retracto: Decimos que la inclusión 𝑖:𝐴→𝑋 es un retracto, si existe una 𝑟:𝑋→𝐴 continua, llamada retracción, tal que 𝑟∘𝑖=𝐼𝑑𝐴 .
  • Retracto débil: 𝐴 es un retracto débil de 𝑋 si existe 𝑟:𝑋→𝐴 continua tal que 𝑟∘𝑖~𝑖𝑑𝐴.
  • Retracto de deformación: Llamaremos retracto de deformación a un retracto 𝑖∶𝐴→𝑋 para el cual se verifica además que 𝑖∘𝑟~𝐼𝑑𝑋. O sea, existe una homotopía 𝐻:𝑋×𝐼→𝑋 tal que:
    • a) H(𝑥,0)=(i∘r)(𝑥) .
    • b) H(𝑥,1)=𝑥,∀𝑥∈ X.
  • Retracto de deformación débil: Un subespacio 𝐴 de X es un retracto de deformación débil si la inclusión 𝑖:𝐴→𝑋 es una equivalencia homotópica, es decir, existe una aplicación 𝑟:𝑋→𝐴, tal que 𝑟∘𝑖~𝑖𝑑𝐴  y 𝑖∘𝑟~𝐼𝑑𝑋.
  • Retracto de deformación fuerte: Diremos que 𝑖∶𝐴→𝑋 es un retracto de deformación fuerte si es un retracto de deformación y además 𝑖∘𝑟 ~𝐼𝑑X 𝑟𝑒𝑙 𝐴, es decir, H(a,t)=a, para todo ∈ I,  aA, 

     Sobre los espacios contráctiles ya hemos visto varios ejemplos, pero si queréis observar algunos ejemplos visuales, podréis encontrarlos en esta entrada del blog, así como casos simplemente conexos.

Ahora bien, ¿qué ocurre con las otros 5 casos? ¿Qué relación hay entre ellas? Existe una cadena de implicaciones obvias por definición de cada una de ellas:

   Retracto de deformación fuerte ⇒ Retracto de deformación ⇒ Retracto de deformación débil ⇒ Retracto ⇒ Retracto débil.

    Pero, ¿son estas las únicas implicaciones? ¿Se da la inversa en algún caso? La respuesta es que no y para demostrároslo hemos decidido dar un contraejemplo para cada caso.


1. Veamos un ejemplo en el que un retracto débil no es retracto.

      Sean 𝑋 = 𝐼2, 𝐴 = ({1/𝑛}n∈ℕ ∪ {0}) × 𝐼 ∪ 𝐼 × {0}. Veamos que 𝐴 es retracto débil de 𝑋 pero no es retracto.

     Se define 𝑟: 𝑋 → 𝐴 como 𝑟(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 0), de donde (𝑟 ∘ 𝑖)(𝑥) = (𝑥, 0). Sea 𝐹: 𝑋 × 𝐼 → 𝑋, 𝐹((𝑥, 𝑦), 𝑡) = (𝑥, 𝑦 · 𝑡). 𝐹 verifica:

  • 𝐹 es continua.
  • 𝐹((𝑥, 𝑦), 𝑡) = (𝑥, 0) = (𝑟 ∘ 𝑖)(𝑥, 𝑦).
  • 𝐹((𝑥, 𝑦), 𝑡) = (𝑥, 𝑦) = 𝐼𝑑A (𝑥, 𝑦)

     Luego tenemos una homotopía entre (𝑟 ∘ 𝑖) y 𝐼𝑑𝐴.


2. Veamos un ejemplo en el que un retracto no es retracto de deformación débil.

     Sea 𝐴 = 𝑆1 × {𝑥0} subespacio de 𝑋 = 𝑆1 × 𝑆1. Recordemos el lema que dimos en clase, según el cual, dado 𝐴 un subespacio de 𝑋 y sea 𝑌 un espacio topológico no vacío. Entonces, 𝐴 × 𝑌 es retracto de 𝑋 × 𝑌 si y solo si 𝐴 es retracto de 𝑋.

     Así pues, nos basta con revisar comprobar que {𝑥0} es un retráctil de 𝑆1, pero dada la aplicación 𝑟: 𝑆1 → {𝑥0}, dada por 𝑟(𝑥) = 𝑥0 , es directo que es una retracción. Ahora bien, es claro que no puede hacer una equivalencia homotópica, pues ya vimos que 𝑆1 no es contráctil, luego no es retracto de deformación débil.


3. Veamos un ejemplo en el que un retracto de deformación débil no es retracto de deformación.

     Sean 𝑋 = 𝐼2, 𝐴 = ({1/𝑛}n∈ℕ ∪ {0}) × 𝐼 ∪ 𝐼 × {0}. Ya vimos que 𝐴 no es retracto de deformación al no ser retracto. Veamos que sí es retracto de deformación débil.

     Sabemos que 𝑟: 𝑋 → 𝐴, 𝑟(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 0) verifica que 𝑟 ∘ 𝑖 ≅ 𝐼𝑑A. Comprobemos ahora que 𝑖 ∘ 𝑟 ≅ 𝐼𝑑X.

     Sea 𝐹: 𝑋 × 𝐼 → 𝑋, 𝐹((𝑥, 𝑦), 𝑡) = (𝑥, 𝑦 · 𝑡). 𝐹 verifica:

  • 𝐹 es continua.
  • 𝐹((𝑥, 𝑦), 𝑡) = (𝑥, 0) = (i ∘ r)(𝑥, 𝑦).
  • 𝐹((𝑥, 𝑦), 𝑡) = (𝑥, 𝑦) = 𝐼𝑑X.

     Luego tenemos una homotopía entre (i∘r) y 𝐼𝑑X.


4. Veamos un ejemplo de un retracto de deformación que no sea fuertemente retracto.

   Como ya viene siendo habitual, tomemos el espacio del peine y la pulga. En esta ocasión, lo haremos más visual con la siguiente animación:

     Como vemos, es claramente retracto de deformación del peine y la pulga a {(0,1)} pero requiere que movamos el punto {(0,1)}. La demostración podéis verla en esta otra entrada de nuestro compañero Francisco Criado.


    Esperamos que hallamos clarificado, aunque solo sea en parte, qué significan estos conceptos. Si algo no os ha quedado claro, no dudéis en comentar, estaremos atentos.

¡Nos vemos por el blog!

Jorge Bravo Cobos, Felipe Flores Salcedo y Andrés Mateo Piñol.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

w

Conectando a %s

Estadísticas del blog

  • 792,510 visitas

Síguenos en

Google translator

Enjoy geometry with our new Virtual Reality game

App Surface Projection

A new app to play topology. Get it for free filling https://goo.gl/ZxAkga

Sierpinski carpet project

Juego alicatado con hilos.

3D POLYFELT – POLIFIELTROS 3D

Premiados en 2012, 2013, 2014, 2015, 2017

Enlaces

Escribe tu dirección de correo electrónico para suscribirte a este blog, y recibir notificaciones de nuevos mensajes por correo.

Únete a otros 82 seguidores

Actualizaciones de Twitter

Anuncios
A %d blogueros les gusta esto: