Juegos topológicos

Superficie de Seifert y grupo fundamental de los anillos de Borromeo

Posted on: mayo 2, 2018

En esta entrada veremos un ejemplo práctico de cómo calcular el género de un enlace, aplicando el altogritmo de Seifert. Además calcularemos el grupo fundamental, mediante su presentación de Wirtinger, y su abelianizado. Para clasificar la superficie tengamos en cuenta que cualquier nudo o enlace posee una superficie orientable que tiene como borde el nudo o enlace de partida. El enlace que vamos a estudiar es conocido como anillos de Borromeo:

1nudo-e1518181528335.png

En primer lugar orientemos el nudo, cada cuerda es independiente por lo que podemos orientarla en cualquier sentido. En este caso orientaremos todas en sentido antihorario.

2Nudo orientado.png

Una vez tenemos orientado el nudo pasemos a dibujar los discos de Seifert. Para dibujar el primero situémonos en cualquier punto del nudo y sigamos el sentido de este cambiando en cada cruce de dirección hacia donde indique la flecha

3s1.png

Dibujemos ahora el segundo disco siguiendo el mismo procedimiento. Este segundo disco estará por debajo del anterior ya que contiene al primero dentro.

4s2.png

Dibujemos el último disco que estará por debajo de los anteriores.

5s31-e1518182966145.png

Una vez que tenemos dibujados los discos pasemos a dibujar las bandas. Tengamos en cuenta que cada cruce viene representado por una banda que da media vuelta. El borde de cada banda debe seguir el cruce correspondiente al diagrama del nudo. Por tanto nuestro diagrama quedaría de la siguiente forma6bandas.png

Así podemos concluir que nuestra superficie está formada por 3 discos y 6 bandas por lo que la característica de Euler asociada será Euler.pngDado que está orientado tenemos que se cumple la siguiente fórmulagenero.pngsiendo m el género y r el número de cuerdas.

Por tanto m=1 y podemos concluir que se trata de un toro con 3 agujeros.

A continuación, calculamos el grupo fundamental del espacio exterior de dicho enlace a partir de su presentación de Wirtinger. Identifiquemos en primer lugar las aristas teniendo en cuenta que si cruzamos por debajo se forma una nueva.

7grupo-fund-a1.png

Una vez que las tenemos identificadas veamos la forma de cada cruce. Para ello utilizaremos la técnica del sacacorchos por lo que debemos añadir un punto x0 y un lazo \alpha que parta de él y esté orientado en sentido antihorario. 8Grupo fund cruces y x0.png9cruces.jpgPor tanto tenemos que el grupo fundamental será GF.pngPodemos simplificarlo mediante los siguientes calculosCalculos gf.pngSustituyendo en (2), (3) y (5) respectivamente obtenemossustitucion.pngAsí tenemos únicamente tres generadores y tres relaciones, por lo que el grupo fundamental finalmente será:gf final.png

Calculemos ahora el abelianizado del grupo fundamental:calculos ab.pngFinalmente podemos concluir que el abelianizado esab.png

Las tres componentes se corresponden con las tres cuerdas del enlace de los anillos de Borromeo.

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