Superficie de Seifert y grupo fundamental de los anillos de Borromeo
Posted on: mayo 2, 2018
En esta entrada veremos un ejemplo práctico de cómo calcular el género de un enlace, aplicando el altogritmo de Seifert. Además calcularemos el grupo fundamental, mediante su presentación de Wirtinger, y su abelianizado. Para clasificar la superficie tengamos en cuenta que cualquier nudo o enlace posee una superficie orientable que tiene como borde el nudo o enlace de partida. El enlace que vamos a estudiar es conocido como anillos de Borromeo:
En primer lugar orientemos el nudo, cada cuerda es independiente por lo que podemos orientarla en cualquier sentido. En este caso orientaremos todas en sentido antihorario.
Una vez tenemos orientado el nudo pasemos a dibujar los discos de Seifert. Para dibujar el primero situémonos en cualquier punto del nudo y sigamos el sentido de este cambiando en cada cruce de dirección hacia donde indique la flecha
Dibujemos ahora el segundo disco siguiendo el mismo procedimiento. Este segundo disco estará por debajo del anterior ya que contiene al primero dentro.
Dibujemos el último disco que estará por debajo de los anteriores.
Una vez que tenemos dibujados los discos pasemos a dibujar las bandas. Tengamos en cuenta que cada cruce viene representado por una banda que da media vuelta. El borde de cada banda debe seguir el cruce correspondiente al diagrama del nudo. Por tanto nuestro diagrama quedaría de la siguiente forma
Así podemos concluir que nuestra superficie está formada por 3 discos y 6 bandas por lo que la característica de Euler asociada será 
Dado que está orientado tenemos que se cumple la siguiente fórmula
siendo m el género y r el número de cuerdas.
Por tanto m=1 y podemos concluir que se trata de un toro con 3 agujeros.
A continuación, calculamos el grupo fundamental del espacio exterior de dicho enlace a partir de su presentación de Wirtinger. Identifiquemos en primer lugar las aristas teniendo en cuenta que si cruzamos por debajo se forma una nueva.
Una vez que las tenemos identificadas veamos la forma de cada cruce. Para ello utilizaremos la técnica del sacacorchos por lo que debemos añadir un punto x0 y un lazo 
Por tanto tenemos que el grupo fundamental será 
Podemos simplificarlo mediante los siguientes calculos
Sustituyendo en (2), (3) y (5) respectivamente obtenemos
Así tenemos únicamente tres generadores y tres relaciones, por lo que el grupo fundamental finalmente será:
Calculemos ahora el abelianizado del grupo fundamental:
Finalmente podemos concluir que el abelianizado es
Las tres componentes se corresponden con las tres cuerdas del enlace de los anillos de Borromeo.
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