Grupo fundamental del exterior del nudo de trébol

Denotemos por K al nudo de trébol, gráficamente representado así:

nudo de trébol

- Generadores: $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ , es decir, uno por cada arco que lo compone.
- Relaciones: Una por cada cruce. Teniendo en cuenta el nombre aportado a los generadores se tiene que las relaciones vienen dadas por:

$\gamma^{-1}_3 \gamma_2 \gamma_3 \gamma^{-1}_1=1$

$\gamma^{-1}_1 \gamma_3 \gamma_1 \gamma^{-1}_2=1$

$\gamma^{-1}_2 \gamma_1 \gamma_2 \gamma^{-1}_3=1$

La obtención de estas relaciones se basa en la presentación de Wirtinger. Se puede consultar en el apartado de ”El grupo fundamental de un nudo” del siguiente enlace: http://mate.dm.uba.ar/~lvendram/lectures/elENA7.pdf

Así, $\Pi(\mathbb{R}^3 \setminus K)=\langle\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3|\gamma^{-1}_3 \gamma_2 \gamma_3 \gamma^{-1}_1=1, \gamma^{-1}_1 \gamma_3 \gamma_1 \gamma^{-1}_2=1, \gamma^{-1}_2 \gamma_1 \gamma_2 \gamma^{-1}_3=1\rangle$

Vamos ahora a reducir el número de generadores. Notemos que a partir de la primera relación se tiene que $\gamma_1=\gamma^{-1}_3 \gamma_2 \gamma_3$ , la cual si sustituimos en las otras dos relaciones nos da:

$(\gamma^{-1}_3 \gamma_2 \gamma_3)^{-1} \gamma_3 (\gamma^{-1}_3 \gamma_2 \gamma_3) \gamma^{-1}_2=1$

$\gamma^{-1}_2 \gamma^{-1}_3 \gamma_2 \gamma_3 \gamma_2 \gamma^{-1}_3=1$

Por lo que el grupo fundamental quedaría como:

$\Pi(\mathbb{R}^3 \setminus K)=\langle\gamma_2, \gamma_3| \gamma^{-1}_3 \gamma^{-1}_2 \gamma_3 \gamma_2 \gamma_3 \gamma^{-1}_2=1, \gamma^{-1}_2 \gamma^{-1}_3 \gamma_2 \gamma_3 \gamma_2 \gamma^{-1}_3=1\rangle$

Obsérvese que la segunda de las relaciones es la inversa de la primera, por lo que, definitivamente, el grupo fundamental será:

$\Pi(\mathbb{R}^3 \setminus K)=\langle\gamma_2, \gamma_3| \gamma^{-1}_3 \gamma^{-1}_2 \gamma_3 \gamma_2 \gamma_3 \gamma^{-1}_2=1\rangle$

Su abelianizado es:
$Ab(\Pi(\mathbb{R}^3 \setminus K, x))= \langle\gamma_2, \gamma_3| \gamma_2=\gamma_3\rangle=\langle\gamma_2\rangle\cong \mathbb{Z}$