Superficie de Seifert del enlace de Audi

Para cualquier nudo o enlace existe una superficie orientable que tiene como borde el nudo o enlace de partida, veamos qué superficie nos aparece sobre el conocido enlace de la marca Audi.

Enlazaremos las 4 anillas para que nos resulte algo interesante que tratar:

Y orientamos sus componentes conexas de la siguiente forma:

Aplicando el algoritmo de Seifert para obtener una superficie orientable que tenga como borde nuestro enlace, dibujamos los discos de Seifert comenzando en un punto cualquiera del diagrama y seguimos el sentido indicado. En cada cruce continuamos el borde del disco hacia donde indique la flecha que cruza (ya sea por encima como por debajo, da igual).

Superficie con D=4 discos de Seifert, los pintados y el que tiene borde pintado de negro que queda debajo.

A continuación clasificamos esta superficie utilizando la característica de Euler, que puede calcularse como:

donde, r es el número de componentes del nudo o enlace, B= 6, el número de bandas, que se corresponden con los cruces del enlace,  D = 4, el número de discos de Seifert, y g es el género de la superficie obtenida. Así,

Se trata pues de una esfera con 4 agujeros. De aquí deducimos que el género de dicho enlace es 0 (=mínimo de los géneros de todas las superficies orientable que lo tienen como borde).

Es interesante construir un modelo real con cintas y discos de papel de dicha superficie de Seifcon papel:

Si con el dedo lo llevamos por el borde podemos comprobar que r=4. La cintas de papel pueden cortarse, girar una vuelta completa, y volverla a pegar para ver  que se trata de una esfera con 4 agujeros.

Ahora vemos que da igual como orientes cada componente conexa, ya que siempre vas a obtener el mismo número de discos de Seifert y, por tanto, la misma superficie orientable.

Si orientamos las componentes conexas así:

Aplicando el algoritmo de Seifert:

Vemos que la superficie obtenida tiene el mismo número de discos de Seifert D=4 que la anterior, por tanto, obtenemos el mismo resultado.

Probamos otra orientación:

Aplicando dicho algoritmo:

Volvemos a tener el mismo número de discos de Seifert D=4, así obtenemos la misma superficie (una esfera con 4 agujeros).

Autora:

Marta Mesa Morales