Juegos topológicos

Archive for the ‘Homotopías’ Category

Esta entrada participa en la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas
cuyo anfitrión es el blog Los Matemáticos no son Gente Seria 

En esta entrada os mostramos algunas animaciones de curvas que hemos realizado con el programa Mathematica. Las funciones que aparecen en los subtítulos son las correspondientes funciones de curvatura, que incluyen un parámetro u variable que da lugar a la animación.

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Descárgate la presentación de la conferencia en PDF

VIDEO DE LA CONFERENCIA

En topología nos interesa conocer la forma de un objeto. Una manera de obtener información interesante es encoger o retraer dicho objeto sobre sí mismo todo lo que se pueda, con el fin de conseguir una forma más simple. Si no puede encogerse, se pincha o se raja el objeto por diversas partes, para poder encogerlo luego. En este proceso se toma nota del número de pinchazos o rajas y los lugares por donde se han realizado.

Por ejemplo, un disco se puede retraer o encoger hasta su centro:

En el siguiente video vemos cómo un cilindro (sin tapas) se retrae a  su base, que es una circunferencia.

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(Artículo publicado en el Boletín de la Titulación de Matemáticas de la UAL, Volumen 2, número 2, con pequeñas adaptaciones al blog.)

A finales del siglo XIX, Camile Jordan enunció el famoso teorema que lleva su nombre:

Toda curva cerrada simple contenida en el plano separa al plano
en dos regiones conexas, una acotada y otra no acotada.

Este resultado apareció en la primera edición de 1893 de su libro “Cours d’Analyse de l’École Polytechnique”, aunque la demostración correcta se publicó en la edición de 1908, y se debe a Oswald Veblen basándose en ideas de Jordan y de Schönflies.

curva-jordan

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¿Cómo podríamos convertir una esfera en un plano de manera continua? Hay muchas maneras de “aplanar” una esfera, pero hay una en particular que tiene buenas propiedades, como la de conservar ángulos. Es la denominada proyección estereográfica.

Consideremos la esfera 2-dimensional de radio 1 (con centro el origen de coordenadas (0,0,0)):

S^2=\{ x^2+y^2+z^2=1\}

Le quitamos el polo norte (0,0,1).  Consideremos también un plano tangente al polo sur (0,0,-1) (podríamos considerar en su lugar el plano que contiene al ecuador).

La idea es proyectar cada punto de la esfera sobre el plano, de la siguiente manera: Tomamos un punto de la esfera y trazamos una línea recta que una el polo norte con este punto hasta cortar con el plano.  ¡El punto de corte es el que buscamos!

Para que quede más claro puedes ver  la siguiente imagen (extraida de http://www.dimensions-math.org/Episode_1C.JPG):

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(SE HAN BORRADO LOS VIDEOS EN YOUTUBE, ESTAMOS REPARÁNDOLO)

Una “homotopía” es una deformación continua de un objeto en otro dentro de un espacio ambiente.  Por ejemplo, podemos encontrar una homotopia que transforma el cono en el disco dentro del espacio tridimensional,  simplemente aplastándolo. En el siguiente video puede verse esta transformación:

¿Cuál sería esa homotopía?

¿Podríamos hacer lo mismo con media esfera? Leer el resto de esta entrada »


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