Juegos topológicos

Posts Tagged ‘cinta de Moebius

Actividad dedicada al profesor Antonio F. Costa, por su cumpleaños (del 31 de mayo de 2017

En el vídeo mostramos cómo construir el famoso bonete cruzado con papel. Para los topólogos el bonete cruzado es muy interesante pues se trata de un modelo de la cinta de Moebius que puede taparse con un disco para obtener el bonete cruzado (cerrado), un modelo del plano proyectivo en R^3. Dicho modelo contiene un segmento de puntos dobles y dos puntos singulares.

Este modelo del bonete cruzado tiene la ventaja de ser simétrico (si se se construye con una hoja más estrecha se aprecia mejor; véase foto abajo).

Lo que no mostramos en el vídeo es el experimento de cortar una cinta por su mitad, ¿te animas? ¿Qué crees que saldrá al cortar este modelo? ¡Te sorprenderá! ¿y si lo cortas por 1/4? Es interesante comparar los resultados con los que se obtienen con una cinta de Moebius estándar.

Para construir este modelo de papel, me he inspirado en una animación magnífica de Jos Leys [Leys 2].

 Cross-cap with paper

The video shows how to build the famous (open) cross-cap with paper. The cross-cap is very interesting to topologists, as it is a model of the Moebius strip which can be closed with a disc, to obtain the closed cross-cap, a model of the projective plane in R^3. This contains a segment of double points, and 2 singular points.

This model is symmetric (for that better start with a narrower sheet; see picture below).

What I haven’t show in the video is the experiment of cutting the Moebius strip by half, would you like to try? You will be surprised! What about cutting it by 1/4? It is interesting to compare the results with same experiments with the standard Moebius strip.

Our paper model was inspired by an animated video of Jos Leys [Leys 2].

Cross-cap

Bonete cruzado grande de cartulina. Se puede probar con cintas de diferentes tamaños y anchuras. / Big cross-cap of cardboard! You can try with strips of different sizes, and width.

La figura anterior es un modelo de cartulina de la superficie de Plücker:

Plucker.png

Mathematica: ParametricPlot3D[{v Cos[u], v Sin[u], Sin[2 u]}, {u, 0, Pi}, {v, -1,1}]

Otra versión casi igual es la  “Wallis’s conical edge

wallis.png

ParametricPlot3D[{v Cos[u], v Sin[u], Sin[2 u]}, {u, 0, Pi}, {v, -1, 1}]

Bonete cruzado de fieltro

¿Y si realizamos el mismo modelo con fieltro? En tal caso, se pueden coser las costuras para cerrarlo (excepto la línea de puntos dobles)  y obtener un modelo del bonete cruzado cerrado (es decir, del plano proyectivo). El resultado se muestra en el siguiente video: una funda matemática muy interesante y curiosa que sirve para guardar nuestro móvil, y de la que incluso podemos sacar dinero, sabiendo que el plano proyectivo vive en la 4ª dimensión, ¡claro!

Referencias/references:


Esta entrada participa en la Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos” del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, matematicascercanas

Esta entrada participa en la Edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas,
cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.

Os dejamos esta entrada fantástica de  Antonio Zarauz, alumno de la asignatura de Introducción a la Topología Algebraica, de la Universidad de Almería. Antonio es además editor de la sección “territorio  estudiante” del Boletín de la Titulación de Matemáticas de la UAL.


Descárgate el fichero ejecutable del Mathematica

Es natural preguntarse cómo, por ejemplo, los mapamundi que estamos acostumbrados a ver poseen una distribución rectangular, mientras que por otro lado nos enseñan que la Tierra es esférica (o, al menos, homeomorfa). La respuesta a ese hecho es sencilla, pero no perfecta; quiere decirse, podemos obtener una a partir de la otra mediante transformaciones que conserven ángulos o áreas, pero no las dos cosas simultáneamente.
El objetivo en este caso es, dada la imagen

5JpK4

obtener una representación más familiar como la siguiente, con la ayuda del Mathematica: Leer el resto de esta entrada »


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