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Updated: September, 2015.

19-8-2015

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¿Cómo podríamos convertir una esfera en un plano de manera continua? Hay muchas maneras de “aplanar” una esfera, pero hay una en particular que tiene buenas propiedades, como la de conservar ángulos. Es la denominada proyección estereográfica.

Consideremos la esfera 2-dimensional de radio 1 (con centro el origen de coordenadas (0,0,0)):

S^2=\{ x^2+y^2+z^2=1\}

Le quitamos el polo norte (0,0,1).  Consideremos también un plano tangente al polo sur (0,0,-1) (podríamos considerar en su lugar el plano que contiene al ecuador).

La idea es proyectar cada punto de la esfera sobre el plano, de la siguiente manera: Tomamos un punto de la esfera y trazamos una línea recta que una el polo norte con este punto hasta cortar con el plano.  ¡El punto de corte es el que buscamos!

Para que quede más claro puedes ver  la siguiente imagen (extraida de http://www.dimensions-math.org/Episode_1C.JPG):

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