Juegos topológicos

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Felix Klein (nace en Düsseldorf el 25 de abril de 1849, y muere en Göttingen el 22 de junio de 1925) Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein

En el mes de abril, podemos conmemorar el nacimiento de grandes matemáticos como Leonard Euler, fundador de la Topología con su solución al problema de los 7 puentes de Königsberg en 1735,  o Felix Klein que describió en 1882 la curiosa botella que lleva su nombre, o Henri Poincaré que entre otros muchos avances, definió en 1894 el grupo fundamental de cualquier espacio y planteó uno de los problemas más importantes del siglo XX, resuelto por Gregori Parelman en 2003. Estos y otros más aparecen en la lista que me envió nuestra querida Marta Macho:

Cualquiera de los mencionados merecerían estar en el título de esta edición del Carnaval de Matemáticas, pero aprovechando que mi hija Sara cumple años el mismo día que  Felix Klein, el 25 de abril, no he tenido dudas en la elección.

Ese mismo 25 de abril, Marta Macho impartirá una conferencia titulada “Buscando matemáticas en la biblioteca” en los “Viernes científicos” de la Universidad de Almería.

Vamos a recordar las normas de participación en el Carnaval: Tienes que escribir una entrada en tu blog sobre algún contenido que verse sobre Matemáticas durante el periodo en que se encuentra abierta la edición del mismo, que en este mes es del 25 al 30 de abril. En la misma, debes mencionar que tu post participa en la presente edición e incluir un vínculo al blog anfitrión Juegos Topológicos y la web del Carnaval de Matemáticas. A modo de referencia puede ser:

Esta entrada participa en la Edición 5.3: Felix Klein del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Juegos Topológicos.

Para tener un registro de las entradas se ofrecen las siguientes posibilidades:

Os dejamos enlaces a las ediciones que se han celebrado hasta ahora:

Termino recordando que tenéis de plazo hasta el 16 de abril para votar a la mejor entrada de la Edición 5.2 Emmy Noether.

¡Gracias de antemano por vuestras aportaciones a esta nueva edición del Carnaval de Matemáticas!

Esta entrada participa en la Edición 5.2 Emmy Noteher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid.

 El pasado 28 de marzo realizamos un taller de Matemáticas con pompas de jabón en el XXXIV Curso de Actualización de Matemáticas, que organiza el Departamento de Matemáticas y computación de la Universidad de la Rioja. En un momento de la charla, hablamos de la estructura de Kelvin (1872) que usa el octaedro truncado como unidad básica, y también de la estructura de Waire-Phelan, descubierta en 1993, que es aún mejor que la estructura de Kelvin por tener menor área.

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Durante la sesión, dedicamos unos minutos a formar octaedros truncados con piezas de Polifieltros 3D, y a apilarlos sin dejar huecos para comprender la estructura de Kelvin. Y ello ha motivado escribir esta entrada, en la que queremos adelantar algunos proyectos que nos gustaría realizar en el aula de matemáticas y exponer en la XII Feria de la Ciencia de Sevilla (con mis colegas David, Carmen, Lidia y Lola), como la esponja de Menger estándar de la que hemos hablado anteriormente en este blog. En breve, escribiremos más sobre nuestra participación en la Feria de la Ciencia de Sevilla.

VARIANTE DE LA ESPONJA DE MENGER:

Primero unimos 8 octaedros truncados alrededor de uno central, por cuadrados comunes, para obtener una figura similar a un cubo (no convexo):

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Quitando el octaedro truncado situado en el interior obtendríamos una figura similar a un cubo hueco, que puede usarse como unidad básica para una variante de la esponja de Menger. Aquí, los octaedros truncados están unidos por cuadrados comunes. Como cada octaedro está unido a otros tres contiguos por un cuadrado común, la figura poseerá 48 hexágonos y 52 cuadrados. 20 estructuras como ésta nos servirían para formar la segunda iteración de esta variante de la esponja de Menger. ¿Cuántos cuadrados y  hexágonos necesitaremos para construirla?

VARIANTE DEL TETRAEDRO DE SIERPINSKI:

Otra composición interesante que tiene forma parecida a un tetraedro es la formada por cuatro octaedros truncados unidos por hexágonos comunes.

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Con cuatro unidades como ésta construimos una variante del tetraedro de Sierpinski.  ¿Cuántos cuadrados y hexágonos vamos a necesitar?
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Al quitar los tres octaedros de las esquinas, aparece un bonito toro con la forma de un hexágono.

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Mi hija Sara ha ayudado en su construcción.

Seguro que existen muchas otras figuras interesantes que iremos descubriendo poco a poco. Desde aquí os animamos a encontrarlas y a construirlas. Agradeceremos al lector que nos indique alguna referencia sobre trabajos relacionados a lo que hemos expuesto en esta entrada.

Algunas referencias:

 

Añadido el 2 de abril: Os dejamos con este otro proyecto con cuadrados que hemos realizado en el IES Francisco Montoya, de Las Norias de Daza. (Pulsa sobre la imagen para ver más fotos).

Esponja de Menger con Polifieltros 3D realizada en el IES Francisco Montoya, de las Norias de Daza.

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Primera iteración de la esponja de Menger, con cuadrados de Polifieltros 3D.

La esponja de Menger es conocida por ser un fractal sin volumen y con área infinita. Su dimensión fractal es \frac{log(20)}{log(3)}.

  • La n-ésima iteración está formada por 20^n cubos de lado 3^{-n} luego su volumen es 20^n 3^{-3n}=(20/27)^{n} que tiende a 0 cuando n tiende a infinito. Por eso decimos que no tiene volumen ( o que su volumen es 0).
  • Pero sin embargo, como fractal tiene dimensión entre 2 y 3.  Si partimos un cubo en cubitos de lado 1/k, obtendremos exactamente k^3 cubitos. Ese exponente 3 es la dimensión del cubo. Esto permite generalizar el concepto de “dimensión” a otros objetos formados por cubitos. Por ejemplo, para la n-ésima iteración de la Esponja de Menger necesita 20^n = k^d cubitos de lado 1/k donde k=3^{-n}. Tomando logaritmos obtenemos el valor de  d=\frac{log(20)}{log(3)} \sim 2,7268.
  • A continuación probaremos que el número de cuadrados de la (superficie de la) n-esima iteración es 2^{2n+1}(2^{n+1}+5^n) luego el área será 2^{2n+1}(2^{n+1}+5^n)3^{-2n} que en el límite da infinito.

Mientras montábamos la primera iteración con cuadrados de Polifieltros 3D con  David Crespo Casteleiro, nos surgió la idea de cómo calcular fácilmente el número de cuadrados necesarios para la 2ª iteración. Desafortunadamente, vimos que eran 1056 y que no teníamos tantos en ese momento, así que tendremos que esperar a coserguirlos primero … Esperamos eso sí, poder montarla en la próxima Feria de la Ciencia de Sevilla en nuestro proyecto “Juegos y joyas fractales”, con David Crespo, Carmen Sánchez, Lidia García, Buensuceso Guzmán y Dolores Jiménez.

Elegimos 6 colores para formar la esponja, un color por cada cara del cubo,  de manera que todos los cuadrados que miren a esa cara tengan el mismo color. Contemos ahora los cuadrados de cada color.

Por ejemplo (véase foto arriba), en la primera iteración hemos usado: 8 cuadrados exteriores amarillos en una cara, más otros 4 cuadrados amarillos interiores (que miran a esa misma cara), por 6  colores, 72 cuadrados en total.

En la segunda iteración, tendremos 8^2 cuadrados exteriores en una cara. El número de cuadrados interiores será la suma de 8*4 correspondientes a las caras externas de las 4 copias de la primera iteración que están a la vista, más otros 20*4 cuadrados interiores correspondientes a los cuadrados interiores de las 20 copias de la primera iteración. Así, tendremos  8*4+20*4=112 cuadrados interiores, y en total necesitaremos  (8^2+112)6= 1056 cuadrados.

En general, el número de cuadrados interiores se define iteradamente como:

I_0=0; I_n=(8^{n-1}\cdot 4+20\cdot I_{n-1})

y el número total de cuadrados de la n-ésima iteración será:

C_n=(8^n+I_n)6.

Dejamos como ejercicio deducir que el número de cuadrados es:

C_n=2^{2n+1}(2^{n+1}+5^n).

El crecimento de C_n es realmente bárbaro: 72, 1056, 18048, 336384, 6531072, 129048576, 2568388608, 51267108864, 1024536870912, 20484294967296, …

Mientras redactábamos esta entrada, hemos encontrado esta imagen de Robert M. Dickau que sigue el colorido propuesto anteriormente.

Para realizar esta 3a iteración necesitaríamos 18048 cuadrados, que vemos imposible por el momento. Como hemos dicho antes, intentaremos al menos construir la 2a iteración que necesita (y no son pocos) 1056 cuadrados.

Podréis ver más construcciones con cuadrados en la página de Polifieltros 3D, como por ejemplo este cubo Soma que sostiene David Crespo, o un dodecaedro (no convexo) con pentágonos hiperbólicos (formados por 5 cuadrados cada uno) que maneja Lidia García:

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Esta entrada participa en la edición 5.1 Rey Pastor del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Tito Eliatron

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Alfombra de Sierpinski con espuma sobre café.

¿Se os ha aparecido alguna vez un fractal en el café? Estos objetos geométricos aparecen en la naturaleza por doquier, pero hasta hoy nunca se me había aparecido en el café. Este hecho fantástico ha durado apenas unos segundos, y le he podido hacer esta foto en la que se aprecia claramente una pequeña alfombra de Sierpinski.

Si se os aparece a vosotros algún otro fractal, por favor decídmelo rápidamente para publicarlo aquí.

En el video “Cutting Sequences on the Double Pentagon, explained through dance“, de Diana Davis, vemos a una chica bailando en un doble pentágono. Las aristas del borde están identificadas, de manera que cuando la chica sale por una arista de un color dado, aparece automáticamente por la otra arista del mismo color. El efecto es realmente fantástico. Estudiar las trayectorias, incluso “rectas” en esta figura, es interesante y así nos lo muestra Diana.

El objetivo de esta entrada es mostrar que la superficie topológica por la que se mueve esta bailarina es un doble toro (superficie orientable de género 2). Tal y como menciona Diana en su artículo,el género puede calcularse fácilmente a partir de la característica de Euler. En efecto, en este caso tenemos 1 vértice, 4 aristas y 1 cara, luego la característica de Euler vale -2. Igualamos este valor a 2-2g, y obtenemos g=2. 

Pero hay otra forma ver que es un doble toro cortando y pegando la superficie adecuadamente. Empezando por el doble pentágono cuya palabra asociada es abcda^{-1}b^{-1}c^{-1}d^{-1}, cortamos por e=ab y pegamos por a. Después cortamos por f=cdb y pegamos por  b. Se llega así a una superficie, un tanto rara cuya palabra asociada es la de un doble toro efe^{-1}f^{-1}cdc^{-1}d^{-1} . Esto nos lo ilustran detalladamente José Luis Gutiérrez y Daniel Canovas, dos alumnos de Matemáticas de la Universidad de Almería en este video, como trabajo de mi asignatura “Introducción a la topología algebraica”.

Esta entrada participa en la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.

Today, in our annual meeting of the SAEM Thales Almeríain the Restaurante Las Eras, Tabernas, we have prepared  some mathematical desserts. Here you can see the 2nd iteration of a Menger sponge that I have carved on a delicious water melon. Hope you like it!

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With the renowed chef Antonio Gázquez, and Juan Guirado, author of the well known blog “cocina y matemáticas“.

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The Menger sponge accompanied with Rubick cubes made with different fruits, by colleagues of the SAEM Thales Almería.

You can also see some previous models of this famous fractal:  sponge to have a shower,  with foam, with 3D Polyfelt.

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Publico en esta entrada fotos de la exhibición “Historia de los gráficos asistidos: desde la fotografía hasta Toy story” por la ACM SIGGRAPH y Duoc UC, en el Museo de Arte Contemporáneo de Santiago de Chile. Una de mis experiencias en chile el pasado 15 de octubre.

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