Frisos y mosaicos con papel de seda
Posted by: jlrodri on: Mayo 24, 2009
Me gustaría comentaros cómo diseñar frisos y mosaicos de forma sencilla utilizando una hoja de papel de seda y unas tijeras.
La idea consiste en doblar adecuadamente la hoja hasta obtener el “órbifold” asociado al mosaico. (Pueden obtenerse frisos a partir de una tira larga, y rosetones a partir de una hoja circular o poligonal.) Este órbifold es el patrón fundamental que guarda la simetría del mosaico por la manera en que hemos doblado la hoja. Una vez tenemos el patrón, recortamos el motivo que más nos guste y finalmente lo desplegamos. Os muestro algunos mosaicos que hemos obtenido así.
Pompas de jabón
Posted by: jlrodri on: Abril 22, 2009
Alumnos de Topología y Geometría Diferencial jugando con pompas de jabón.
En esta sesión nos hemos propuesto clasificar todas las pompas de jabón que pueden aparecer dentro de un cuerpo platónico abierto (es decir, sólo con las aristas, sin las caras) y también dentro de un nudo de alambre. Leer el resto de esta entrada »
Compactación de Alexandroff
Posted by: nataliaq on: Marzo 30, 2009
Casi todos los objetos que hemos tratado en este blog son compactos. La compacidad es una propiedad muy importante en topología, ya que si tenemos objetos compactos nos resultará mucho más fácil estudiar sus propiedades, clasificarlos, etc. Esto lo veremos pronto cuando clasifiquemos las superficies compactas.
Una manera de saber si un objeto es o no “compacto” es estudiar qué ocurre con sucesiones de puntos contenidas en el objeto. Debemos comprobar que todas las sucesiones de puntos en el objeto que sean convergentes, tengan su punto límite dentro del objeto. Si es así, entonces será compacto.
Veamos algunos ejemplos: Leer el resto de esta entrada »
Encoger, rajar y pinchar
Posted by: mely on: Marzo 18, 2009
En topología nos interesa conocer la forma de un objeto. Una manera de obtener información interesante es encoger o retraer dicho objeto sobre sí mismo todo lo que se pueda, con el fin de conseguir una forma más simple. Si no puede encogerse, se pincha o se raja el objeto por diversas partes, para poder encogerlo luego. En este proceso se toma nota del número de pinchazos o rajas y los lugares por donde se han realizado.
Por ejemplo, un disco se puede retraer o encoger hasta su centro:
En el siguiente video vemos cómo un cilindro (sin tapas) se retrae a su base, que es una circunferencia.
Enredos o encajes de bolillos
Posted by: cleo699 on: Marzo 14, 2009
Acabamos de ver en este video a una encajera encajando bolillos, la verdad que muy despacio. Normalmente se va muchísimo más rápido. Aquí no os vamos a enseñar cómo encajar bolillos, vamos a centrarnos en la aritmética que hay detrás y su relación con la teoría de nudos.
Esponja de Menger
Posted by: Paco on: Marzo 14, 2009
La esponja de Menger es la versión tridimensional de la alfombra de Sierpinski. Veamos primero cómo se construye la alfombra de Sierpinski (es una variante del triángulo de Sierpinski). Se toma un cuadrado, se divide en 3×3=9 cuadrados y quitamos el del medio. Ahora en los 8 restantes repetimos la misma operación, tal y como mostramos en la siguiente animación:
Alfombra de Sierpinski
La Conjetura de Poincaré
Posted by: nataliaq on: Marzo 4, 2009
La Conjetura de Poincaré es una de las hipótesis más importantes de la topología, tanto es así que fue elegida como uno de los “Siete Problemas del Milenio”, seleccionados por el Clay Mathematics Institute de Cambridge. Son problemas con verdadera relevancia en matemáticas y que, por diferentes hechos, se resisten a su resolución. La Conjetura de Poincaré pasó a ser llamada como tal y se convirtió en el Teorema de Poincaré, tras su demostración definitiva en 2002 por el matemático ruso Grigory Perelman.
La esfera de Poincaré, ¿la forma de nuestro universo?
Posted by: jlrodri on: Febrero 14, 2009
La forma topológica que posee nuestro universo es todavía desconocida, aunque se tienen sospechas. El espacio podría tener la forma de una esfera de Poincaré. Descubierta a principios del siglo XX por otros motivos, la esfera de Poincaré está siendo considerada desde hace unos años en Cosmología como una posible forma de nuestro universo. En esta entrada comentaremos qué es lo que veríamos si viviésemos dentro de un espacio así. Leer el resto de esta entrada »
La esfera cornuda de Alexander
Posted by: jlrodri on: Enero 23, 2009
(Artículo publicado en el Boletín de la Titulación de Matemáticas de la UAL, Volumen 2, número 2, con pequeñas adaptaciones al blog.)
A finales del siglo XIX, Camile Jordan enunció el famoso teorema que lleva su nombre:
Toda curva cerrada simple contenida en el plano separa al plano
en dos regiones conexas, una acotada y otra no acotada.
Este resultado apareció en la primera edición de 1893 de su libro “Cours d’Analyse de l’École Polytechnique”, aunque la demostración correcta se publicó en la edición de 1908, y se debe a Oswald Veblen basándose en ideas de Jordan y de Schönflies.
¿Cómo aplanar una esfera?
Posted by: jlrodri on: Enero 19, 2009
¿Cómo podríamos convertir una esfera en un plano de manera continua? Hay muchas maneras de “aplanar” una esfera, pero hay una en particular que tiene buenas propiedades, como la de conservar ángulos. Es la denominada proyección estereográfica.
Consideremos la esfera 2-dimensional de radio 1 (con centro el origen de coordenadas (0,0,0)):
Le quitamos el polo norte (0,0,1). Consideremos también un plano tangente al polo sur (0,0,-1) (podríamos considerar en su lugar el plano que contiene al ecuador).
La idea es proyectar cada punto de la esfera sobre el plano, de la siguiente manera: Tomamos un punto de la esfera y trazamos una línea recta que una el polo norte con este punto hasta cortar con el plano. ¡El punto de corte es el que buscamos!
Para que quede más claro puedes ver la siguiente imagen:
XVI Encuentro de Topología y Curso Avanzado de TQFTs
