Frisos y mosaicos en Matematicalia
Posteado por: jlrodri en: Enero 22, 2010
En el artículo “Frisos y mosaicos de papel de seda”, publicado en Matematicalia Ciencia, Vol 5, nº5 (dic 2009) podéis ver en detalle cómo se realizan los 7 frisos con papel de seda.
Descárgatelo en http://www.matematicalia.es o pulsa directamente sobre la imagen.
Cintas de Möbius para frisos de papel
Posteado por: jlrodri en: Enero 1, 2010
Me encanta la cinta de Möbius. La conocéis muy bien, ¿no? Últimamente me estoy enrollando con ella, o ella conmigo. Para comenzar os diré a qué me refiero con “enrollarse”, construyendo una cubierta de 2 hojas (o capas) de la cinta de Möbius estándar:
Os propongo ahora que hagáis vosotros una cubierta de 4 capas de la cinta de Möbius. La disposición de las 4 capas se apreciará muy bien si recortáis algún motivo sobre ella, y la desplegáis después. Lo que os saldrá es un friso con 4 copias del motivo, y cuya simetría está generada por una traslación sesgada (o deslizamiento).
Pero me temo que el modelo de cinta de Möbius estándar no es el más adecuado para frisos, ya que las copias salen muy separadas (además, puede que no tengamos a mano una cinta tan larga).
El modelo más adecuado para frisos debe ser el de una cinta de Möbius más corta, en relación a su anchura, para que las repeticiones del motivo aparezcan a la menor distancia posible. Este modelo de cinta existe y se obtiene pegando los extremos de una tira formada por tres triángulos consecutivos tal y como mostramos en el siguiente video:
Para este modelo podéis usar también una tira rectangular de altura 1 y base 
En el video siguiente mostramos cómo montar la correspondiente cinta de Möbius de 4 capas con el modelo anterior.
Este es el resultado de un friso realizado con papel de seda:
-
- Cubierta ya recortada (observar que tiene recortes tanto de un lado como del otro)
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- Vista de la cubierta con una cinta fuera
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- Las lineas rojas marcan la separación entre los distintas cintas de Möbius
Estas imagenes han salido publicadas en “Frisos y mosaicos de papel de seda”, Matematicalia Ciencia, Vol 5, nº5 (dic 2009).
http://www.matematicalia.es
Hilos, pompas y el problema isoperimétrico
Posteado por: jlrodri en: Noviembre 25, 2009
Os propongo en esta entrada unos experimentos impactantes que me ha sugerido Rafael López, de la Universidad de Granada.
Fijamos los extremos de un hilo a un aro de alambre e introducimos todo en un recipiente con agua jabonosa (para que aguanten más tiempo las pompas se puede añadir un poco de azúcar o glicerina líquida disponible en farmacias). Justo a continuación, pinchamos en el interior de la curva que ha formado el hilo. ¿Qué creéis que pasará?
Pues tal y como muestra el video, ¡se formará instantáneamente un arco de circunferencia! Observaréis también que el arco varía a medida que alejamos o acercamos los dos extremos. Por cierto, una pregunta para los amantes de la geometría, ¿podríais calcular el radio de dicho arco?, ¿y el ángulo que forma el hilo con el borde de alambre? Podéis suponer que el alambre está recto. Eso no afecta.
¿Qué pasará ahora si aflojamos un poco los nudos de los extremos, permitiendo que corran con libertad por el alambre?
Pues en este caso, el hilo formará un ángulo recto con el alambre en cada uno de sus dos extremos. En particular, si el alambre no está curvado, el hilo formará exactamente media circunferencia, tal como sale en la Foto del video anterior. Esto tenéis que hacerlo en casa, ¡es realmente curioso!
Por último, soltamos el hilo del alambre, lo anudamos para cerrarlo, y lo posamos con cuidado sobre una lámina de jabón, intentando que el hilo encierre un solo hueco (normalmente se superenrolla como el cable de un teléfono fijo y se forma una figura ocho). En este caso, al pinchar en su interior se formará una circunferencia perfecta, que podremos arrastrar libremente por toda la lámina, e incluso pasar la mano al otro lado de la pompa a través del hueco. Si no os lo creéis, podéis ver en el siguiente video:
Este tipo de experimentos están relacionados con el problema isoperimétrico del plano, que como indica la palabra, es un problema que consiste en hallar de entre todas las curvas del plano que tienen el mismo perímetro, aquélla que encierra mayor área. Esta curva es la circunferencia, la curva perfecta para los antiguos griegos. En nuestro caso, la lámina de jabón que queda entre el alambre y el hilo tiende a poseer mínima área (por la propia naturaleza de las pompas). Esto obliga a que el área que queda en el interior del hilo sea por tanto máxima, formándose así una circunferencia al instante.
Estudios similares con pompas de jabón y otros fluidos, con restricciones de contorno, tienen aplicaciones en numerosos ámbitos donde se busca minimizar recursos. Por ejemplo, la cubierta del estadio olímpico de Munich (1972) fue diseñada con pompas de jabón, y una estructura de postes y cuerdas colgantes.
Con este diseño, no solo se consiguió originalidad y belleza sino también el ahorro de materiales, y con ello, un menor peso para la cubierta, resultando así más estable.
Isoperimetría en Wikipedia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Isoperimetr%C3%ADa
Geometría de las pompas de jabón, por Rafael López
Juego “mágico” con alambres
Posteado por: jlrodri en: Noviembre 23, 2009
Este juego topológico que os voy a mostrar es bastante difícil de realizar. Consta de dos piezas de alambre: una en forma de anilla circular, y otra en forma de figura 8. Las dos piezas están enlazadas. En el video vemos cómo la anilla “pasa” mágicamente de un lado al otro de la figura 8. Aviso que no hay ninguna trampa, no se ha tenido que romper ni soltar nada, los alambres están bien cerrados.
Diversión en la semana de la ciencia de la UAL
Posteado por: jlrodri en: Noviembre 12, 2009
Ver noticia aparecida hoy en Canal Sur Almería.
Pompas de jabón II
Posteado por: jlrodri en: Noviembre 11, 2009
Viene de la entrada Pompas de jabón.
Cuando introducimos dos aros de alambre cruzados formando un ángulo recto, no se forman dos láminas perpendiculares como sería de esperar, sino que se unen formando un ángulo de 120º y siempre aparecen tres láminas (360/3=120) alrededor de cada arista común. La naturaleza resuelve esto añadiendo un “ojo” en cuyos párpados se aprecian tres laminas unidas:
Al juntar los dos aros por un solo punto podrían salir dos discos unidos por el punto común, pero ¡no! Una vez más la naturaleza nos sorprende con esta otra pompa:
Si situamos los dos aros en paralelo a una corta distancia se forman la famosa catenoide, una superficie que tiene como generatriz una catenaria o curva de la cadena (que se obtiene al sostener una cadena por sus extremos).
Cuando doblamos el aro para formar una horquilla como la que muestra el video siguiente, se forma una variante de la conocida superficie de Schreck. Es espectacular ver como se mueve al abrir o cerrar la horquilla, o como se estira al soplar sobre ella:
No importa lo retorcido que esté el alambre, la pompa se adaptará a la forma que diseñemos. Nuestra imaginación puede comenzar a volar:
En esta otra se muestra como giran pompitas alrededor de otras dos:
A continuación mostramos una superficie minimal que, sin embargo, no tiene área mínima. Para obtener la pompa de área mínima hay que juntar los extremos inferiores tal y como se hace en el video.
Puedes encontrar más explicaciones y material en:
- Pompas de jabón, por Vicente Muñoz.
Poincaré, Dalí, los 120 dodecaedros y la sonda espacial WMAP
Posteado por: jlrodri en: Noviembre 5, 2009
Frisos y mosaicos con papel de seda
Posteado por: jlrodri en: Mayo 24, 2009
(Podéis ver una versión actualizada y más completa de esta entrada en el artículo de Matematicalia.)
Me gustaría comentaros cómo diseñar frisos y mosaicos de forma sencilla utilizando una hoja de papel de seda y unas tijeras.
La idea consiste en doblar adecuadamente la hoja hasta obtener el “órbifold” asociado al mosaico. (Pueden obtenerse frisos a partir de una tira larga, y rosetones a partir de una hoja circular o poligonal.) Este órbifold es el patrón fundamental que guarda la simetría del mosaico por la manera en que hemos doblado la hoja. Una vez tenemos el patrón, recortamos el motivo que más nos guste y finalmente lo desplegamos. Os muestro algunos mosaicos que hemos obtenido así.
Pompas de jabón
Posteado por: jlrodri en: Abril 22, 2009
Alumnos de Topología y Geometría Diferencial jugando con pompas de jabón.
En esta sesión nos hemos propuesto clasificar todas las pompas de jabón que pueden aparecer dentro de un cuerpo platónico abierto (es decir, sólo con las aristas, sin las caras) y también dentro de un nudo de alambre. Leer el resto de esta entrada »
Compactación de Alexandroff
Posteado por: nataliaq en: Marzo 30, 2009
Casi todos los objetos que hemos tratado en este blog son compactos. La compacidad es una propiedad muy importante en topología, ya que si tenemos objetos compactos nos resultará mucho más fácil estudiar sus propiedades, clasificarlos, etc. Esto lo veremos pronto cuando clasifiquemos las superficies compactas.
Una manera de saber si un objeto es o no “compacto” es estudiar qué ocurre con sucesiones de puntos contenidas en el objeto. Debemos comprobar que todas las sucesiones de puntos en el objeto que sean convergentes, tengan su punto límite dentro del objeto. Si es así, entonces será compacto.
Veamos algunos ejemplos: Leer el resto de esta entrada »
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