Ejemplo de retracto de deformación que no es retracto de deformación fuerte
Posted on: marzo 26, 2018
- En: General | Homotopías | retracto
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En esta entrada veremos un ejemplo de retracto de deformación que no es retracto de deformación fuerte. Consideraremos el espacio famoso del ‘peine y la pulga’ dado por:
Χ=(∪{1/n}x[0,1])∪({0}x[0,1])∪([0,1]x{0}) , donde n∈Ν. Veamos una representación del espacio para algunos naturales.
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¡Muy buenas a tod@s!
Somos Felipe, Jorge y Andrés y hoy queremos aprovechar esta entrada en el blog para hablaros sobre algo que tratamos en profundidad en este curso: las retracciones. Para ello, nos hemos basado en el libro de texto Kosniwoski y los apuntes de la asignatura.
En primer lugar, ¿qué es una botella de Klein? Se ha tratado en varias ocasiones en este blog, pero vamos a recordarlo. La botella de Klein es una superficie (variedad topológica de dimensión 2) compacta (cerrada y acotada), conexa (de una pieza) y no orientable, pues contiene bandas de Möbius.
Viendo la siguiente imagen, observamos que es como una “botella” que no tiene ni interior ni exterior, que posee una sola cara y sin borde. Digamos que se podría recorrer en su totalidad de forma continua, sin salto alguno.
En esta entrada se va a trabajar con entornos de 2-complejos, obtenidos al identificar dos a dos, las aristas de un tetraedro (sólamente las aristas). La idea es que se vea el proceso de construcción de la figura para ayudar a visualizarla y que pueda servir para otros casos. El objetivo es conseguir realizar un entorno en una figura de papel.
Primer entorno:
Dado un tetraedro, colocamos la orientación y las letras (dos a dos), a, b y c, en las aristas de cualquier forma. En nuestro primer ejemplo vendrá dada de la siguiente forma:
Vistas frontal y trasera
LoA continuación se muestra un ejercicio resuelto en el que se procede a clasificar una superficie dada por una palabra, mediante dos métodos: primero utilizando la característica de Euler y segundo utilizando el abelianizado del grupo fundamental. La superficie se construye a partir de un polígono identificando las aristas del borde según reza dicha palabra.
Ejercicio. Clasifique la superficie dada por la palabra, mediante la característica de Euler:
Grupo fundamental de 2-complejos
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