Juegos topológicos

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Back to the project “Let’s play to classify surfaces!

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Viéndose en la superficie de un toro

El proyecto titulado “¡Juguemos a clasificar superficies! se ha presentado hoy en la Noche Europea de los Investigadores, organizada por la OTRI de la UAL, y que ha tenido lugar en la Rambla y en la Delegación de Gobierno de Almería. Tal y como comentamos en una entrada anterior, el proyecto pretende enseñar en Primaria y Secundaria los rudimentos necesarios para clasificar superficies topológicas usando materiales manipulativos como papel, plastilina, frutas, pompas de jabón o Polifieltros 3D, así como con programas de visualización en 3D. Lee el resto de esta entrada »

Esta entrada participa en la Edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas,
cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.

Os dejamos esta entrada fantástica de  Antonio Zarauz, alumno de la asignatura de Introducción a la Topología Algebraica, de la Universidad de Almería. Antonio es además editor de la sección “territorio  estudiante” del Boletín de la Titulación de Matemáticas de la UAL.


Descárgate el fichero ejecutable del Mathematica

Es natural preguntarse cómo, por ejemplo, los mapamundi que estamos acostumbrados a ver poseen una distribución rectangular, mientras que por otro lado nos enseñan que la Tierra es esférica (o, al menos, homeomorfa). La respuesta a ese hecho es sencilla, pero no perfecta; quiere decirse, podemos obtener una a partir de la otra mediante transformaciones que conserven ángulos o áreas, pero no las dos cosas simultáneamente.
El objetivo en este caso es, dada la imagen

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obtener una representación más familiar como la siguiente, con la ayuda del Mathematica: Lee el resto de esta entrada »

Ya estoy de vuelta en Almería. Han sido unos días intensos y entretenidos, cruzando todo el Este de España, con el coche cargado hasta arriba:  La esponja de Menger (de corcho) ocupaba el asiento trasero ella sola, las figuras de ZOME el maletero entero, los polifieltros, cada vez más numerosos, el asiento delantero, E8 con su buen marco, ni te cuento… y algunos juguetes más  encajonados…

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Ya sabemos que para un topólogo una taza de café es como una rosquilla. Pero ¿qué se podría hacer con tela y unas pocas cremalleras? Ahí van algunas ideas presentadas en la Exhibición de Juegos Topológicos, en el 18º Encuentro de Topología en Sevilla.  Lee el resto de esta entrada »

Pegando o cosiendo los lados opuestos de un cuadrado o rectángulo de manera apropiada, se pueden obtener un cilindro, una cinta de Möbius, un toro y una botella de Klein, entre otros objetos. Los pegados los representamos con flechas del mismo color (azul o rojo):

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El cilindro se obtiene pegando dos lados opuestos a una tira de papel. Observaréis que el borde son dos circunferencias, y que tiene dos caras.

La cinta de Möbius se obtiene pegando los lados cortos de una tira de papel, después de dar media vuelta a uno de los extremos. A diferencia del cilindro, el borde de esta cinta es 1 circunferencia y ¡tiene 1 sola cara! Lo podéis comprobar pintando una línea a lo largo de la cinta. Esto hace que no admita una orientación, en el sentido de que un ser plano que viviese en esta cinta, al dar una vuelta aparecería con todo al revés.

Un experimento que podéis hacer es cortar una cinta de Möbius por su mitad: veréis que sale una cinta más larga enrollada, ¿es otra cinta de Moebius? Volver a cortarlo por la mitad, ¿qué sale? ¿Y si cortásemos la cinta de Moebius  por su tercio?

En este video se ve a un robot paseando por una cinta de Möbius. Video realizado por Jacobo Romero Manrique (estudiante de la UAL).

Para fabricar un toro debemos tomar una membrana elástica, no se puede hacer con papel. También se obtiene a partir de un cilindro pegando los dos extremos, de forma normal. El resultado es una superficie cerrada (es decir, sin borde), con dos caras. Tiene interior y exterior.

En este otro video se contruye una botella de Klein. Al final del video se corta la botella para obtener una cinta de Möbius.

Observaréis que hay un momento que la botella se atraviesa a sí misma. Debemos pensar que sí, lo hace, ¡pero sin tocarse! Este paso hay que imaginárselo en 4 dimensiones: Fijaos que una 4ª dimensión nos permitiría atravesar las paredes sin tocarlas, del mismo modo que un ser plano podría saltar una linea de su plano, si tuviera una tercera dimensión.

Esta es la botella de Klein de cristal más grande del mundo.

La botella de Klein es pues una superficie cerrada, pero a diferencia de la botella estándar (tapada con su tapón) o el toro, no tiene ni dentro ni fuera: El líquido puede “salir” y “entrar” sin necesidad de hacer un agujero.

Botella de Klein y cinta de Möbius rodando
Combinación de 3 botellas de Klein

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