La Conjetura de Poincaré

La Conjetura de Poincaré es una de las hipótesis más importantes de la topología, tanto es así que fue elegida como uno de los “Siete Problemas del Milenio”, seleccionados por el Clay Mathematics Institute de Cambridge. Son problemas con verdadera relevancia en matemáticas y que, por diferentes hechos, se resisten a su resolución. La Conjetura de Poincaré pasó a ser llamada como tal y se convirtió en el Teorema de Poincaré, tras su demostración definitiva en 2002 por el matemático ruso Grigori Perelman.

En el siglo XIX se observó que en toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera, por lo que podemos afirmar que topológicamente sólo hay una variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa que es la esfera.

En 1904, el matemático francés Henri Poincaré conjeturó que el resultado obtenido para la 2-esfera de tenía un análogo para la 3-esfera de . En otras palabras, en toda variedad de dimensión 3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión 3.

El enunciado preciso de la Conjetura de Poincaré es:

«Una variedad tridimensional cerrada con grupo fundamental trivial es homeomorfa a la esfera tridimensional».

Parece una sencilla afirmación y es difícil de imaginar un contraejemplo, pero las demostraciones detalladas que se fueron produciendo en el siglo XX resultaron incompletas o erróneas. Si generalizamos la Conjetura de Poincaré a la esfera de dimensión n en un espacio de dimensión n+1, tenemos que para n=1 es evidente la demostración y para n=2 ya se ha mencionado que fue demostrada en el siglo XIX. En 1961 Pieter Zeeman lo demostró para n=5 y ese mismo año el estadounidense Stephen Smale la demostró para n 7. El caso n=6 fue demostrado por John R. Stalling en 1962 y ya hubo que esperar hasta 1986 para que el estadounidense Michael Hartley Freedman la demostrara en el caso n=4, lo que le valió conseguir una Medalla Fields en 1986. Curiosamente, el caso n=3 que es precisamente el que corresponde a la Conjetura de Poincaré, ha sido el que más se ha resistido a su demostración.

Perelman anunció haberlo hecho en 2002 a través de dos publicaciones en internet. Finalmente, se reconoció su trabajo cuando se le otorgó la Medalla Fields en el marco del XXV Congreso Internacional de Matemáticos (ICM2006) con sede en Madrid en agosto de 2006, la cual él mismo rechazó, supuestamente por estar disgustado por el hecho de que algunos aún discuten sobre lo acertado o no de su demostración. De hecho, varios matemáticos especializados en el tema, como Shing-Tung Yau, alegaron que  la Conjetura ya había sido resuelta con anterioridad. No obstante, Yau reconoció en una entrevista de prensa el talento de Grigori Perelman.

Hoy en día es una verdadera incógnita si le van a conceder o no el premio del millón de dólares a Perelman, y cuándo lo van a hacer. El organismo que tiene que tomar esta decisión, como se ha citado antes, es el Instituo Clay de Matemáticas (ICM), y está bastante claro que el ICM ya ha dado por resuelta la demostración de la Conjetura. Una evidencia de ello es la página web sobre Perelman y su demostración en el ICM, como podemos ver en el siguiente enlace. Entonces, ¿a qué esperan? Una de las reglas requiere que la demostración esté publicada en alguna revista matemática con revisores de prestigio mundial, y, aunque el propio Perelman no lo haya hecho aún, otros matemáticos han publicado artículos acerca de la prueba. El ICM exige también que dicha demostración esté aceptada por la comunidad  matemática y también que pasen al menos dos años a partir de su publicación. Es en agosto de este año, 2009, cuando se cumple este plazo.

Existen opiniones de que el premio será anunciado en la Clay Research Conference en la Universidad de Harvard, Cambridge, Massachusetts, que se celebrará del 4 al 5 de mayo de 2009. En esta conferencia anual se presentan los Clay Research Awards (premios “menores” del ICM) y es la ocasión ideal para anunciar la resolución del primer Premio del Milenio resuelto. También se espera que Perelman comparta el premio con Richard Hamilton, ya que gracias a su método sobre el Flujo de Ricci, Perelman pudo esbozar su demostración.

La demostración de la Conjetura de Poincaré requiere unos importantes conocimientos de topología, geometría diferencial, cálculo, ecuaciones diferenciales e incluso de la teoría de la relatividad, inalcanzables para Poincaré en su tiempo. Podemos ver en este caso como las matemáticas, aún teniendo numerosas ramas y especializaciones, se alían a la vez para poder corroborar un enunciado exclusivamente topológico, y como la resolución de un problema mítico, como es la Conjetura, conlleva numerosos avances en el campo de la Ciencia y, consecuentemente, para toda la Humanidad.

Como ejemplo, en este enlace tenemos un artículo en el que podemos ver como se puede aplicar la demostración de la Conjetura de Poincaré a un tema tan importante como es el estudio de la formación de tumores, es decir, el cáncer.

En el siguiente vídeo se explica bastante bien en qué consiste la conjetura de Poincaré

Enlaces:

Conjetura de Poincaré y videojuegos

(artículo bastante interesante sobre la relación entre los videojuegos y la conjetura de Poincaré)

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Poincar%C3%A9

Haz clic para acceder a laconjetura.pdf

http://abalontico.matem.unam.mx/cprieto/index.php?option=com_content&view=article&id=93:perelman-grigori&catid=64:p&Itemid=72

Cuándo premiarán a Perelman con un millón de dólares

Haz clic para acceder a mp-15.pdf

¿Quién se acuerda de Grigory (Grisha) Perelman?

http://www.monografias.com/trabajos-pdf/conjetura-poincare-grigori-perelman/conjetura-poincare-grigori-perelman.shtml

http://www26.brinkster.com/omaregionpilar/Noticias/Habr%C3%ADan%20probado%20la%20conjetura%20de%20Poincar%C3%A9.htm