Árbol pitagórico con cuadrados de cartulina

Con Dolores Jiménez Cárdenas, profesora del CEIP San Fernando.

Ayer comenzamos a elaborar un árbol pitagórico fractal de cartulina, con alumnos y alumnas de 2º y 3er ciclo de primaria (8-12 años) en el CEIP San Fernando de Almería. Siguiendo ese enlace veréis fotos de los niños trabajando.

Dicho fractal fue descubierto por el profesor de matemáticas holandés Albert E. Bosman, en 1942.

Esta actividad se enmarca dentro del proyecto «Juegos y joyas fractales«, que presentaremos los próximos 15-17 de mayo en la XII Feria de la ciencia de Sevilla, junto a otras actividades que estamos realizando con David Crespo Casteleiro, Dolores Jiménez Cárdenas del CEIP San Fernando, Carmen Sánchez Melero del Colegio Educativo Agave, y Lidia García López en el IES Francisco Montoya, de las Norias de Daza, en El Ejido.

Desde aquí, agradecemos la colaboración en esta actividad fractal de todos los profesores participantes del CEIP San Fernando, y en especial a Dolores Jiménez Cárdenas por hacer posible esta actividad.

Materiales y preparación previa:

Para realizar la 11-ésima iteración con cuadrados de cartulina de colores y con las medidas deseadas (aprox. 3 metros de ancho por 2 metros de altura, para que cupiese en una pared, y fuese accesible a los niños, véanse las medidas exactas al final), hemos necesitado 12 cartulinas de tamaño A2, uno por cada nivel, de colores distintos (o repetidos). Con regla y lápiz marcamos tiras de anchura las indicadas abajo, y con tijeras o cutter cortamos (los finales los pueden recortar los alumnos como detallamos después):

2^11=2048 cuadrados de 1 cm de lado. (LOS EXTREMOS)
2^10=1024 cuadrados de $\sqrt 2 \sim 1,41$ cm de lado.
2^9=512 cuadrados de 2 cm de lado.
2^8=256 cuadrados de $2\sqrt 2\sim 2,83$ cm de lado.
2^7=128 cuadrados de 4 cm de lado.
2^6=64 cuadrados de $4\sqrt 2\sim 5,66$ cm de lado.
2^5=32 cuadrados de 8 cm de lado.
2^4=16 cuadrados de $8\sqrt 2\sim 11,38$ cm de lado.
2^3=8 cuadrados de 16 cm de lado.
2^2=4 cuadrados de $16\sqrt 2\sim 22,63$ cm de lado.
2^1=2 cuadrados de 32 cm de lado.
2^0=1 cuadrado de lado $32\sqrt 2\sim 45,25$ cm de lado. (LA BASE)

Desarrollo de la actividad:

En primer lugar, hemos mostrado al gran grupo una serie de fotografías ilustrando algunas de las formas fractales que nos encontramos en la naturaleza y en nosotros mismos; hemos hablado del teorema de Pitágoras, y del árbol pitagórico que íbamos a realizar para presentarlo en la feria de la ciencia de Sevilla.

A continuación, cada alumno se ha encargado de preparar 2 o 4 arbolitos dependiendo de su destreza, que ellos mismos se encargarán de colocar en los extremos del árbol.

Al mismo tiempo que los alumnos recortan los arbolitos del final, comenzamos el árbol por su base, utilizando cinta adhesiva de doble cara para pegarlos sobre el mural.

En el nivel 5, aparecen ya solapamientos de cuadrados.

Una de las dificultades de este fractal es el solapar los cuadrados de manera precisa. Al hacer cada niño los «arbolitos» finales, nos encontramos con problemas para aplanarlos todos al final, por lo que hemos optado por dejar que sobresalgan. La ventaja es que cada niño ve su arbolito pegado en el árbol.

Está quedando realmente espectacular, ¿verdad? Las poquitas hojas que faltan las colocaremos durante la feria de la ciencia en Sevilla.

Algunos cálculos:

Aquí van algunos datos y preguntas interesantes que trataremos con alumnos de secundaria o bachillerato durante la feria:

MEDIDAS: La altura de nuestra 11-ésima iteración es $126 \sqrt 2 \sim 178,19$ cm, que se calcula fácilmente sumando los lados y diagonales de los cuadrados que van de abajo arriba, y la anchura es $188\sqrt 2\sim 265,87$ cm.

ÁREA: El área de cada sección (cuadrados del mismo tamaño) por separado es 2048 cm^2. Esto se calcula fácilmente usando el teorema de Pitágoras en cada paso. Nosotros explicamos a los niños la versión simple, tratada ya por Platón en sus diálogos, pues el triángulo es isósceles y se ve de manera inmediata.

Sin embargo, observamos que muchos cuadrados se superponen por lo que el área es difícil de calcular a simple vista. ¿Cuánto valdrá el área de nuestra iteración? Todavía no lo hemos calculado y parece complicado con las piezas de cartulina, pues algunas se separan por no ser la construcción perfecta. Tendría que hacerse directamente sobre un dibujo realizado con ordenador y suficientemente ampliado.

El cálculo del área total del árbol pitagórico cuando el número de extremos tiende a infinito, es un problema todavía abierto en matemáticas.

PERÍMETRO: (pendiente)

DIMENSIÓN FRACTAL: En cada iteración se reduce el lado de los cuadrados en un factor de $\sqrt{2}/2)$ , y aumenta en 2 el número de cuadrados, por tanto la dimensión es