¿Un hilo danzando sobre una catenoide de pompa de jabón?

Esta entrada participa en la edición XXXIII del mes de Julio del Carnaval de Física, que alberga el blog El Mundo de las Ideas.

En la conferencia inaugural del XIV Congreso de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas,  celebrado en Málaga los días 4,5 y 6 de julio, Rafael López Camino, profesor de la Universidad de Granada y experto en geometría de las pompas de jabón, impartió una conferencia magnífica sobre este tema,  con numerosos experimentos en directo, que cautivaron de principio a fin a los asistentes.

Una de las figuras más bonitas que formó con pompa de jabón fue la famosa catenoide, la superficie de revolución generada por una catenaria, y a ésta quiero dedicar esta entrada.  Recordemos que la catenaria es la curva que forma una cadena en equilibrio al sujetarla por sus extremos. Fue el mismo Leonard Euler quien demostró que era una superficie minimal hacia 1740.

Para formar esta superficie se introducen dos aros circulares iguales de alambre en agua jabonosa, tocándose uno con otro, y se separan poco a poco,  sin movimientos bruscos. Normalmente aparacerá una ojiva en el medio, que habrá de romperse con un dedo seco, para que se forme una catenoide. Lo que veréis a continuación en este vídeo es todavía más espectacular, y para ello necesitaréis además un hilo circular, como cuando experimentamos con el problema isoperimétrico con hilos sobre pompas.

Como habréis observado en el vídeo, la catenoide se materializa exactamente en el momento en que los aros están uno encima del otro paralelamente,  a una distancia no muy grande. Podéis ver el límite permitido, es decir, el momento en que se rompen por ejemplo en el trabajo Pompas de jabón (página 10), del matemático Vicente Muñoz  o en este otro trabajo experimental de los físicos japoneses Masato Ito and Taku Sato: In situ observation of a soap-film catenoid—a simple educational physics experiment.

Quedan por estudiar las superficies que se forman cuando variamos la longitud del hilo. Sólo cuando la longitud del hilo sea la adecuada, se obtendrá una catenoide perfecta con su circunferencia central en el cuello, marcada por el hilo.  Si los aros están demasiado próximos se forma una superficie que no es regular, es decir terminada en pico en el centro. ¿Se podrá calcular el ángulo de dicho pico en función del radio de los aros, el radio o longitud del hilo, y la distancia entre los aros?

Cuando los aros NO están dispuestos uno encima del otro pero siguen estando  en planos paralelos, la superficie de jabón obtenida ya no es de revolución, pero se trata de una superficie que estudió Riemann hacia 1860. Éstas son superficies que cualquier plano paralelo a ambos aros corta a la superficie en una circunferencia. Este hecho fue demostrado matemáticamente por Schiffmann en 1956, tal y como nos cuenta Rafael en su trabajo La Geometría de las pompas de jabón.

En fin, en el experimento del vídeo vemos perfectamente cómo se forma una circunferencia y se mantiene justo girando en el medio (si los aros están suficientemente alejados). Quizá no esté todo dicho y alguien se anime a estudiar matemática y físicamente esta nueva modalidad de la catenoide con el hilo por el medio.