Visiones de la esfera tridimensional

(primera versión de esta entrada noviembre de 2009,
actualizada el 17 de octubre de 2011 y en construcción…):

Seguro que conocéis el famoso vídeo del Dr. Quantum del planeta plano y el de Carl Sagan hablando de la 4ª dimensión.

http://www.youtube.com/watch?v=CR8cO554H4U&feature=player_embedded

En esta entrada trataremos de dar algunas visiones que nos permitirán entender mejor la esfera tridimensional, también llamado «espacio esférico».

Visión de película.
Visión rectilínea. El hipercubo y variantes.
Visión «plana», de las naranjas.
Visión «plana» con la proyección estereográfica.
Visión de los toros.

Comenzemos recordando la definición de la esfera tridimensional.

Sabemos que los espacios euclideos se encajan cada uno dentro del de dimensión superior añadiendo 0 como última coordenada:

$\mathbb{R}^1\subset \mathbb{R}^2 \subset \mathbb{R}^3 \subset \mathbb{R}^4 \subset ...$ ,

Igualmente, cada esfera se encaja como «ecuador» de la siguiente:

$\mathbb{S}^0\subset \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{S}^2 \subset \mathbb{S}^3 \subset ...$ ,

Esto es, $\mathbb{S}^0=\{x^2=1\}= \{-1, 1\}$ son dos puntos contenidos en la circunferencia $\mathbb{S}^1=\{x^2+y^2=1\}$ , y ésta es a su vez el ecuador de la esfera estándar $\mathbb{S}^2=\{x^2+y^2+z^2=1\}$ .
La ecuación de la esfera tridimensional $\mathbb{S}^3$ viene dada por la ecuación:

$x^2+y^2+z^2+t^2=1$

es decir, son aquellos puntos de $\mathbb{R}^4$ que distan una unidad del origen 0=(0,0,0,0).

1) ¡Visión de película!

Como en el video del Dr. Quantum, podríamos imaginarnos cómo la esfera tridimensional atravesaría nuestro espacio. Veríamos primero un punto, el polo sur, que se convertiría en una esfera que aumentaría de tamaño hasta llegar a tener radio 1, éste es el ecuador, y luego iría disminuyendo hasta desaparecer, tal y como ha aparecido. El último punto que veríamos sería el polo norte.

Matemáticamente estamos viendo los paralelos de la esfera $\mathbb{S}^3$ . La coordenada t puede considerase la coordenada tiempo, que varía entre -1 y 1. Si en la ecuación de la esfera pasamos $t^2$ al otro miembro, resulta la ecuación

$x^2+y^2+z^2=1-t^2$ .

Esto define una esfera de radio variable $1-t^2$ y centro el origen. Es decir, podemos imaginarnos $S^3$ como una secuencia o película de esferas 2-dimensionales de radio $1-t^2$ . Estas esferas variables son los «paralelos» de $\mathbb{S}^3$ , en analogía a los paralelos de $\mathbb{S}^2$ . Así, para $t=-1$ tenemos como solución un punto, el (0,0,0,-1); éste es el polo sur. Para $t=0$ tenemos la esfera estándar, el ecuador. Y para $t=1$ tenemos el polo norte (0,0,0,1).

2) Visión rectilinea: El hipercubo.

Un segmento (dim 1) puede verse como un punto (dim 0) en movimiento; Un cuadrado (dim 2) es un segmento en movimiento; Un cubo macizo (dim 3) es un cuadrado en movimiento. Un hipercubo sería un cubo en movimiento, lo que nos da un objeto de 4 dimensiones.

Construcción del hipercubo. Fuente: Wikipedia

El borde del segmento está formado por dos puntos.

El borde del cuadrado está formado por 4 segmentos unidos formando una «circunferencia» cuadrada.

El borde del cubo macizo está formado por 6 cuadrados que se unen formando una «esfera» cúbica.

El borde del hipercubo está formado por 8 cubos macizos que forman una «esféra» hipercúbica.

Si en lugar de un cuadrado tomamos un triángulo, esto también nos define una circunferencia desde el punto de vista topológico. Los objetos que obtendremos serán triángulos, tetraedros, hipertetraedros, etc. Podéis ver más información en la entrada de wikipedia sobre los n-simplex.

Las versiones duales del hipercubo nos dan, el cuadrado, el octaedro, el hiperoctaedro, etc. Estos reciben el nombre de politopos de cruce.

3) Visión «plana», de las naranjas.

Esta visión es muy sencilla y requiere un poco de topología de pegados. Se trata de partir la hiperesfera en dos hemisferios. Veamos primero como lo haríamos con la esfera $\mathbb{S}^2$ .

Imaginémonos que somos seres dos dimensionales que vivimos en el plano xy (como en el video del Dr. Quantum). Le pedimos a alguien que viva en dimensión 3 que nos muestre la esfera $\mathbb{S}^2$ , pues desde nuestro plano, solo vemos una circunferencia. Este ser tridimensional, compasivo por nuestra limitación, parte la esfera en dos trozos: el hemisferio norte y el hemisferio sur. En ese momento la circunferencia que veíamos desaparece. El ser tridimensional conoce la topología cociente y debe acordarse que el borde de ambos hemisferios, es decir, la circunferencia que nosotros veíamos $\mathbb{S}^1$ , está compartido, es el mismo aunque los hemisferios estén separados. Ahora el ser tridimensional aplasta los dos hemisferios hasta convertirlos en dos discos, uno en el plano $z=1$ y otro en el plano $z=-1$ . El resultado sería la primera imagen de la figura siguiente:

Desde el plano xy, seguimos sin ver nada. Ahora el ser tridimensional traslada el disco de abajo al plano al plano $z=0$ (donde vivimos nosotros), y el disco de arriba le da la vuelta y lo coloca tocando al lado del otro disco. Entonces, nos dice que $\mathbb{S}^2$ es lo que estamos viendo: dos discos unidos por su borde, de modo que cuando estando en uno de ellos y «salgamos» hacia el borde del disco, «entramos» automáticamente en el otro disco. Hemos puesto salgamos y entramos entre comillas, pues realmente no se sale ni se entra, permanecemos en la superficie de la esfera.

Para la esfera $\mathbb{S}^3$ hacemos lo mismo. Partimos $\mathbb{S}^3$ por su ecuador que ahora es $\mathbb{S}^2$ . Obtenemos por un lado el hemisferio norte ( $t \geq 0$ ) y por otro el hemisferio sur ( $t \leq 0$ ). Ambos comparten el borde que es $\mathbb{S}^2$ . El hemisferio norte es una secuencia de esferas que van decreciendo, empezando por la de radio 1, $\mathbb{S}^2$ , en $t=0$ , hasta llegar a la «esfera trivial», el polo norte, el origen, en $t=1$ . Las pasamos todas al tiempo 1, esto es «aplastamos» el hemisferio norte, obteniendo una esfera maciza en $t=1$ . Análogamente, hacemos lo mismo con el hemisferio sur: lo aplastamos a una esfera maciza en el tiempo $t=-1$ . Estas dos esferas macizas ocupan el mismo espacio al proyectarse en $\mathbb{R}^3$ pero viven en tiempos distintos $t= 1$ y $t=-1$ . Podemos ahora pasar las dos esferas al tiempo $t=0$ pero ocupando espacios distintos, una centrada en (0,1,0) y la otra centrada en (0,-1,0), por ejemplo. Nos podemos imaginar pues a $\mathbb{S}^3$ , por ejemplo, como 2 naranjas que comparten la misma cáscara, es decir que si estuviesemos dentro de una de ellas, y «saliesemos» por su borde, automáticamente entraríamos en la otra. El polo norte sería el centro de una naranja, y el polo sur el centro de la otra.

4) Visión «plana» con la proyección estereográfica.

Esta es una de las más útiles para representar objetos en 4-dimensiones y realizar cálculos sobre ellos. Para entenderla bajamos una dimensión, como antes.

En la proyección esteográfica de la esfera descrita en la entrada «¿Cómo aplanar una esfera?» Vimos que la esfera $\mathbb{S}^2$ (quitándole el polo norte) se transforma en el plano que pasa por su ecuador. El hemisferio sur estaría ahora dentro del disco unidad, y el hemisferio norte estaría en la parte extrior. Los paralelos son circunferencias concéntricas en el origen, cuyos radios varían desde 0, hasta infinito.

La esfera de dimensión 3, puede imaginarse igual, como una sucesión de «paralelos» que ahora son esferas 2-dimensionales, cuyos radios varían de 0 a 1, los correspondientes al hemisferio sur y después de 1 a infinito, los correspondientes al hemisferio norte.

Empecemos describiendo la proyección estereográfica de la esfera 3-dimensional sobre un espacio 3-dimensional, que llamaremos espacio esférico.

Al igual que en el caso de dimensión 2, ahora quitamos el polo norte (0,0,0,1). Lo que queremos es proyectar los puntos de $\mathbb{S}^3$ en un espacio dentro de $\mathbb{R}^4$ , por ejemplo, el subespacio de los puntos de la forma (x,y,z,0). El polo sur, (0,0,0,-1) irá al origen (0,0,0). El ecuador de $\mathbb{S}^3$ es el conjunto formado por los puntos que cumplen $t=0$ , es decir los que cumplen la ecuación $x^2+y^2+z^2=1$ . El ecuador de la esfera $\mathbb{S}^3$ es una esfera $S^2$ de dimensión 2. Si $t<0$ tenemos el hemisferio sur de $\mathbb{S}^3$ y al proyectarlo lo identificaremos como el interior de la esfera $\mathbb{S}^2$ . Por último, el hemisferio norte de $\mathbb{S}^3$ lo identificaremos con lo que está fuera de $\mathbb{S}^2$ .

¿Nos ayuda esta proyección estereográfica a visualizar politopos?

Sí, por supuesto. Recordar que un politopo es el análogo a un poliedro en dimensiones superiores. Los que viven en cuatro dimensiones se llaman «polícoros». Para poder visualizarlos utilizamos su diagrama de Schlegel, que usa la proyección estereográfica.

La proyección estereográfica en dimensión 3, además de preservar ángulos, preserva ángulos diédricos, es decir ángulos entre dos caras. Transformará entonces porciones esféricas en porciones esféricas o planas (un plano es una esfera de radio infinito).

Puedes visitar estos enlaces:

Dimensions, capitulo 6

El programa de Jen.3d para visualizar politopos, de Fritz H. Obermeyer, es fantásitico: imágenes de politopos.

Proyección estereográfica de superficies esféricas sobre el plano, que nos ayuda a visualizar policoros como el 120-celda

Foto del 1-esqueleto del 120-cell fabricada con palitos de algodón, ¡impresionante!

5) Visión de los toros.

La esfera tridimensional puede verse también como la unión de dos toros macizos pegados por su borde, de manera que los meridianos de uno se pegan con los paralelos del otro.

Con ella puede describirse el famoso fibrado de Hopf:

$S^1 \to S^3 \to S^2$

Esta visión sea quizá la más interesante, así que incluiremos más información en el futuro o en otra entrada. Os dejamos de momento con esta fantástica animación de Niles Jonhson

http://www.nilesjohnson.net/hopf.html

Para seguir leyendo:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibration

Matt Chisholm tiene una web completísima sobre la 3-esfera
http://theory.org/geotopo/3-sphere/html/thesis.html

Volveremos y completaremos esta entrada en el futuro.

2 replies to “Visiones de la esfera tridimensional”

antoniojpan dice:

octubre 17, 2011 a las 5:14 pm

Muy interesante esta entrada, gracias por compartirla.
A mí personalmente me gusta ver la 3-esfera de otra forma más. Observemos que S^1 se obtiene, topológicamente, considerando el «interior» de S^0 e identificando sus bordes. Análogamente, S^2 se obtiene a partir del interior de S^1 (un círculo) pegando en un sólo punto su borde (el propio S^1).

Pues bien, S^3 surge entonces de considerar el interior de S^2 (una esferera maciza) pegando todo su borde con un punto. Es decir, vivir en S^3 es como vivir en una esfera maciza pero con la peculiaridad de que si nos acercamos al borde podemos «teletrasportarnos» al cualquier otro punto del borde
Mago Moebius dice:

octubre 17, 2011 a las 5:37 pm

La incluiré, muchas gracias por recordármelo! Topológicamente es $S^n \cong D^n/\partial D^n$ , donde $D^n$ es el disco n-dimensional.