¿Figuras fractales con octaedros truncados?

Esta entrada participa en la Edición 5.2 Emmy Noteher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid.

El pasado 28 de marzo realizamos un taller de Matemáticas con pompas de jabón en el XXXIV Curso de Actualización de Matemáticas, que organiza el Departamento de Matemáticas y computación de la Universidad de la Rioja. En un momento de la charla, hablamos de la estructura de Kelvin (1872) que usa el octaedro truncado como unidad básica, y también de la estructura de Waire-Phelan, descubierta en 1993, que es aún mejor que la estructura de Kelvin por tener menor área.

Durante la sesión, dedicamos unos minutos a formar octaedros truncados con piezas de Polifieltros 3D, y a apilarlos sin dejar huecos para comprender la estructura de Kelvin. Y ello ha motivado escribir esta entrada, en la que queremos adelantar algunos proyectos que nos gustaría realizar en el aula de matemáticas y exponer en la XII Feria de la Ciencia de Sevilla (con mis colegas David, Carmen, Lidia y Lola), como la esponja de Menger estándar de la que hemos hablado anteriormente en este blog. En breve, escribiremos más sobre nuestra participación en la Feria de la Ciencia de Sevilla.

VARIANTE DE LA ESPONJA DE MENGER:

Primero unimos 8 octaedros truncados alrededor de uno central, por cuadrados comunes, para obtener una figura similar a un cubo (no convexo):

Quitando el octaedro truncado situado en el interior obtendríamos una figura similar a un cubo hueco, que puede usarse como unidad básica para una variante de la esponja de Menger. Aquí, los octaedros truncados están unidos por cuadrados comunes. Como cada octaedro está unido a otros tres contiguos por un cuadrado común, la figura poseerá 48 hexágonos y 52 cuadrados. 20 estructuras como ésta nos servirían para formar la segunda iteración de esta variante de la esponja de Menger. ¿Cuántos cuadrados y hexágonos necesitaremos para construirla?

VARIANTE DEL TETRAEDRO DE SIERPINSKI:

Otra composición interesante que tiene forma parecida a un tetraedro es la formada por cuatro octaedros truncados unidos por hexágonos comunes.

Con cuatro unidades como ésta construimos una variante del tetraedro de Sierpinski. ¿Cuántos cuadrados y hexágonos vamos a necesitar?

Al quitar los tres octaedros de las esquinas, aparece un bonito toro con la forma de un hexágono.

Mi hija Sara ha ayudado en su construcción.

Seguro que existen muchas otras figuras interesantes que iremos descubriendo poco a poco. Desde aquí os animamos a encontrarlas y a construirlas. Agradeceremos al lector que nos indique alguna referencia sobre trabajos relacionados a lo que hemos expuesto en esta entrada.

Algunas referencias:

http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_de_Weaire-Phelan
http://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/space/truncatedoctahedrontessela.html
[Añadido el 31 de marzo de 2014] Tom Ruen nos recomienda visitar esta página http://www.doskey.com/polyhedra/PartialHoneycombs.html. Aquí le vemos con una variante que incluye prismas hexagonales con el juego Polydron.
Tom Ruen.
http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_uniform_honeycomb

Añadido el 2 de abril: Os dejamos con este otro proyecto con cuadrados que hemos realizado en el IES Francisco Montoya, de Las Norias de Daza. (Pulsa sobre la imagen para ver más fotos).