Esponja de Menger (tercera iteración)

Esta entrada participa en la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas,
cuyo anfitrión es Gaussianos

En la entrada Esponja de Menger explicamos la forma teórica de construir este fractal, comenzando a partir de un cubo y extrayendo cubos cada vez más pequeños.  En el siguiente vídeo mostramos la construcción de la 3ª iteración por secciones (pulsa sobre la imagen para verlo):

http://www.youtube.com/watch?v=-2JWO5VeJkA

Todas las piezas se han cortado a mano con cutter, de planchas de corcho blanco. Han hecho falta 27 planchas cuadradas de 2 cm grosor y 54 cm de lado cada una, bueno en realidad hacen falta menos, pero hemos tenido que rehacer bastantes piezas, ¿sabes cuántas? (mira el problema abajo). A todos los alumnos que han participado cortando y pegando las piezas, ¡muchas gracias por vuestro excelente trabajo!

Podéis ver más despacio el montaje en la siguiente presentación (cada foto es descargable):

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En la Semana de la Ciencia 2010 de la UAL, propusimos a estudiantes de secundaria montarla sin decirles cómo debían hacerlo. Para muchos supuso todo un reto.

Mariquita paseando por la esponja de Menger

Montando la esponja. Semana de la ciencia 2010 de la UAL

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Problema

Ya sabemos que la n-ésima iteración de la esponja de Menger puede construirse pegando 20^n cubitos. En el IES Río Aguas (Sorbas, Almería) cortamos los 8000 cubitos que hacen falta para la 3ª iteración (podéis ver una foto aquí). Pero, no hace falta cortar para después tener que pegar. Es por este motivo que se nos ocurrió reconstruir la esponja, esta vez por secciones o pisos.

Llamemos v el volumen de un cubito (en nuestro caso v=4 cm^2, pues el grosor de la plancha era de 2 cm).

1. La primera iteración consta de 4 piezas de 1v y 2 de 8v. Esto nos da 4*1+2*8=20.
2. La 2ª iteración consta de 24 piezas de 1v, 16 piezas de 2v, 8 de 3v, 8 de 8v, y 4 de 64v, como podéis ver en el video de la 2ª iteración. Esta descomposición nos da (24*1+16*2+8*3+8*8+4*64) = 400=20^2.
3. La tercera iteración tiene un volumen de 20^3=8000. ¿Podéis calcular la descomposición asociada?
4. ¿Puedes encontrar una fórmula general para la n-ésima iteración?