Superficies de gomaespuma y la cuártica de Klein

Artículo publicado en Matematicalia Vol. 7, nº4 (Diciembre 2011)

Superficies con distintos órdenes de simetría. Foto: Alejandro de la Paz

Felix Klein descubrió en 1879 simetrías ocultas en las superficies de Riemann. ¿Quién diría que la primera, por ejemplo, con una simetría de orden 7, es un triple toro con dos discos recortados?   

Simetrías del triple toro

El triple toro es como la superficie de una rosquilla, pero con tres huecos. Existen muchas y variadas maneras de representarlo [L], siendo objeto de estudio en distintas ramas de las matemáticas. Algunas de estas representaciones son realmente bellas porque reflejan simetrías, tal y como se aprecia en las siguientes figuras  (extraidas de  Wikipedia, autor  Oleg Alexandrov):

En la primera figura aparecen visibles 8 simetrías de orden 2 (respecto de los tres ejes). En la segunda representación vemos una simetría de orden 3.

Antonio Costa destacó en su charla titulada » Simetrías de superficies» (ver [C] o [CQ]) el resultado sorprendente de Klein [K], que asegura que el triple toro posee además simetrías de orden 7.  La famosa cuártica de Klein, dada por la ecuación en variables complejas , es un modelo algebraico del triple toro sobre el que Klein basó sus investigaciones.  El modelo geométrico tridimensional más conocido del triple toro es:

Triangulación en el triple toro. (Imagen: Greg Egan)

Este modelo consta de 56 triángulos,  24 vértices y 84 aristas, donde en cada vértice concurren 7 triángulos. Su superficie dual está formada por 24 heptágonos  (véase una escultura en mármol de Helaman Ferguson).

Este modelo geométrico puede desplegarse en el plano hiperbólico, con la teselación regular {3,7} (véase por ejemplo [H]),  dando lugar a una figura plana simétrica de orden 7 denominada configuración de Klein.

Configuración de Klein, coloreada por Tony Smith.

Para reconstruir el triple toro a partir de esta figura desplegada, la arista 2n+1 debe pegarse con la arista 2n+6, módulo 14, teniendo en cuenta que las aristas pares van en dirección opuesta. En la figura se ven 15 heptágonos enteros (el azul central, los 7 rojos y los 7 amarillos). Los heptágonos en verde-gris se unen dos a dos para formar 7 heptágonos. Los 7 pedacitos del borde en azul-gris con forma de triángulo, forman otro heptágono y, por último,  los restantes 7 pedacitos en azul-gris con forma de cometa forman otro heptágono. En total 24 heptágonos regulares, unidos de tres en tres en cada vértice. Por eso, la cuártica de Klein es conocida también como el cuerpo platónico de 24 heptágonos.

Si recortamos los dos heptágonos que forman los 14 pedacitos de color azul-gris del borde,  y estiramos la figura suficientemente, como si fuese de goma elástica, podremos pegar el borde físicamente, obteniendo un modelo tridimensional de la cuártica de Klein (con dos discos recortados).

Existen muchas maneras de estirar la figura, pero queremos además que no se pierda la simetría de orden 7. A ello dedicamos el resto del artículo.

Modelo geométrico de Costa y Quach-Hongler

En el trabajo [CQ] los autores muestran dos figuras simétricas de orden 7, que resultan ser modelos geométricos  de la cuártica de Klein. La primera figura  es una superficie cuyo borde consta de dos nudos enlazados  (la otra la vemos al final):

La superficie que tiene como borde este enlace, la hemos construido con gomaespuma:

Observar que el borde de esta superficie es el enlace anterior (salvo reflexión), marcado ahora en blanco y amarillo:

Si cosemos dos discos a lo largo de estos dos nudos obtendremos el triple toro. Este «cosido» hay que realizarlo en R^4, donde hay espacio suficiente para que los discos intersequen a la superficie sólo en los nudos correspondientes.

¿Y por qué la superficie resultante con los discos cosidos es el triple toro?

Claramente es orientable y no es difícil calcular su característica de Euler, que es igual a -6 (podéis ver cómo hacerlo por ejemplo en Juego con tiras de papel).  Así, la superficie que obtenemos al coser los dos discos tiene característica de Euler  -4, por tanto se trata del triple toro (ver nota (1)).

Construcción paso a paso

A continuación mostramos cómo hemos construido el modelo de Costa y Quach-Hongler de la cuártica de Klein, a partir de un simple heptágono regular de gomaespuma. La elasticidad de este material nos permite hacer los medios giros centrales. Durante la construcción identificamos la configuración de Klein estirada que permite hacer los pegados en el borde, respetando la simetría de orden 7:

Observar que la figura obtenida es la configuración de Klein estirada. Siguiendo el borde,  se leen exactamente las aristas numeradas del 1 al 14 de la configuración de Klein.

Pegamos los 14 extremos de acuerdo a la regla: 2n+1 con 2n+6, módulo 14. Empezamos pegando 1 con 6:

Seguimos pegando 3 con 8:

Y sucesivamente, 5 con 10, 7 con 12, 9 con 14, 11 con 2, y 13 con 4.

Observar que los 7 pegados han quedado disimulados bajo los 7 cruces exteriores.

Cuártica de Klein en fieltro y belcro para montar, con Ana Herrerías de Abla

De manera similar se pueden construir superficies con otros órdenes de simetría,  como las que aparecen en la foto del principio del artículo. ¿Os animáis a construir alguna? ¿Sabéis qué superficies son? ¿Qué superficie se obtendría a partir de un polígono regular de n lados en general?

Más superficies de Seifert con gomaespuma

Otra figura simétrica de orden 7 mostrada en [CQ] es la siguiente:Consiste en dos discos unidos por 7 tiras verticales,  cada una con medio giro en el mismo sentido. Es fácil comprobar que es un triple toro con un disco recortado, calculando su característica de Euler.

Tanto el modelo anterior como éste son superficies orientables con borde un nudo o enlace.  Reciben el nombre de superficies de Seifert asociadas al nudo o enlace dado, en honor a Herbert Seifert que las estudió hacia 1934.   Algunas de ellas se pueden realizar con pompa de jabón, introduciendo el nudo de alambre en agua con jabón. Veamos cómo se forman las más sencillas correspondientes al nudo trébol y el nudo figura 8:

Con el programa SeifertView de Jack van Wijk, la cuártica de Klein tiene este aspecto:

Cuártica de Klein. Imagen del programa Seifert View

Esta figura en gomaespuma tiene un aspecto muy bonito.

Podéis ver más superficies de Seifert de gomaspuma pulsando sobre la imagen de abajo. Veréis composiciones que, variando el orden de simetría, nos recuerdan a los famosos nudos celtas. Las figuras son manipulables y se pueden volver de dentro a fuera, retorcerlas, en fin, como  se dice normalmente, la topología es la geometría de la goma elástica, y con estos objetos de gomaespuma en la mano, la topología es, si cabe, ¡mucho más divertida!

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Nota:

(1) El triple toro es una superficie (sin borde) orientable de género 3.  Se reconoce por ser la única superficie orientable con característica de Euler -4. Recordemos que la característica de Euler de una superficie orientable de género g es 2-2g, donde g es el número de asas. Si a dicha superficie le recortamos r discos, entonces la característica de Euler de la superficie resultante es 2-2g –r

Referencias:

[B] Baez, John: Klein’s Quartic Curve, 2010

[CQ] Costa, Antonio y  Quach-Hongler, Cam Van: Prime order automorphisms of Klein surfaces representable by rotations of the Euclidean space, por aparecer en Journal of Knot Theory.

[C] Costa, Antonio:  “Simetrías de superficies“, charla impartida en el XVI Encuentro de Topología, Zaragoza, 2010.

[K] Klein, Felix. «Über die Transformationen siebenter Ordnung der ellipptischen Funktionen» Math. Ann. 14, 428‐471, 1879.

[K-w] Klein quartic, wikipedia.

[L] The Eightfold Way: The Beauty of Klein’s Quartic Curve, edited by Silvio Levy, 1999.

[H] Hyperbolic planar tesselations, por Don Hatch.

[W] SeifertView, programa de visualización de superficies de Seifert de Jack van Wijk, 2005.