Pegando o cosiendo los lados opuestos de un cuadrado o rectángulo de manera apropiada, se pueden obtener un cilindro, una cinta de Möbius, un toro y una botella de Klein, entre otros objetos. Los pegados los representamos con flechas del mismo color (azul o rojo):
El cilindro se obtiene pegando dos lados opuestos a una tira de papel. Observaréis que el borde son dos circunferencias, y que tiene dos caras.
La cinta de Möbius se obtiene pegando los lados cortos de una tira de papel, después de dar media vuelta a uno de los extremos. A diferencia del cilindro, el borde de esta cinta es 1 circunferencia y ¡tiene 1 sola cara! Lo podéis comprobar pintando una línea a lo largo de la cinta. Esto hace que no admita una orientación, en el sentido de que un ser plano que viviese en esta cinta, al dar una vuelta aparecería con todo al revés.
Un experimento que podéis hacer es cortar una cinta de Möbius por su mitad: veréis que sale una cinta más larga enrollada, ¿es otra cinta de Moebius? Volver a cortarlo por la mitad, ¿qué sale? ¿Y si cortásemos la cinta de Moebius por su tercio?
En este video se ve a un robot paseando por una cinta de Möbius. Video realizado por Jacobo Romero Manrique (estudiante de la UAL).
Para fabricar un toro debemos tomar una membrana elástica, no se puede hacer con papel. También se obtiene a partir de un cilindro pegando los dos extremos, de forma normal. El resultado es una superficie cerrada (es decir, sin borde), con dos caras. Tiene interior y exterior.
En este otro video se contruye una botella de Klein. Al final del video se corta la botella para obtener una cinta de Möbius.
Observaréis que hay un momento que la botella se atraviesa a sí misma. Debemos pensar que sí, lo hace, ¡pero sin tocarse! Este paso hay que imaginárselo en 4 dimensiones: Fijaos que una 4ª dimensión nos permitiría atravesar las paredes sin tocarlas, del mismo modo que un ser plano podría saltar una linea de su plano, si tuviera una tercera dimensión.
La botella de Klein es pues una superficie cerrada, pero a diferencia de la botella estándar (tapada con su tapón) o el toro, no tiene ni dentro ni fuera: El líquido puede «salir» y «entrar» sin necesidad de hacer un agujero.
Virtual and manipulative geometrical and topological games 
Exelente artículo, aunque nunca he entendido como funciona la superficie de Klein, ya que uno dice que no tiene ni dentro ni fuera, el líquido puede “salir” y “entrar” sin necesidad de hacer un agujero, pero se que puede entrar por el agujero, pero ¿salir? ….
Me confunde, se agradece el aporte!