Juegos topológicos

Hilorama de E8

Posted on: octubre 10, 2010

PROHIBIDA CUALQUIER REPRODUCCIÓN O DIFUSIÓN PARCIAL O TOTAL DE ESTA ENTRADA EN CUALQUIER SOPORTE, SIN PERMISO EXPRESO DEL AUTOR.

Elegida imagen del mes en Divulgamat (15-11-2010)

Portada en Matematicalia y ZTFnews (14-11-2010)

Presentado en la X Semana de la Ciencia de la UAL (15-11-2010)

Presentado en el XVII Encuentro de Topología (25-11-2010)

Imagen incluida en la entrada sobre E8 en Wikipedia (27-11-2010)

Presentado en la IX Feria de la Ciencia de Sevilla (13-5-2011)

Exposición virtual en Divulgamat (23-9-2011)

Mathematical Art Exhibition Bridge 2013 (July 27-31, 2013)

Makezine and  Momath column (August 12, 2013)

(NEW PICTURES) Imaginary, Open Mathematics (Descember, 2013)

Descárgate el póster del hilorama de E8

Sistema de raíces del grupo de Lie excepcional E8, construido con hilos de colores

En la entrada anterior hemos mostrado una pequeña selección de politopos con hilo tensado. Esta entrada la queremos dedicar a E8.

Fue Peter McMullen quien hacia 1960 dibujó a mano esta maravillosa representación del politopo de Gosset 4_21 (descrito en 1900). Se le nombra a menudo también como politopo E8 por tener como vértices el sistema de raíces del grupo de Lie excepcional E8. Más recientemente,  John Stembridge dio la primera imagen por ordenador, de donde nos hemos inspirado para reproducirlo aquí con hilos de colores.

Este politopo vive en un espacio de 8 dimensiones. Su 1-esqueleto consta de 240 vértices y 6720 aristas, aunque no todas se ven en la figura plana pues se solapan unas con otras (al final del artículo damos más detalles).  Para visualizar este tipo de objetos multidimensionales se suele estudiar sus proyecciones planas. La que aquí mostramos es sin duda una de la más bellas pues se ven todos los vértices. Se distribuyen en 8 coronas concéntricas de 30 vértices cada una,  donde los vértices de cada corona están conectados entre sí por lineas rectas, excepto los diametralmente opuestos.

Nuestra construcción con hilos:

A continuación ilustramos una a una las 8 fases de su construcción con hilos de colores. Bajo la imagen de cada foto encontraréis una combinación de 14 números, donde cada número del 1 al 8 indica un color distinto. La combinación nos indica el color de las aristas que concurren en un vértice al conectarse con el resto de vértices de su corona, cuando las recorremos en sentido de las agujas del reloj (o al revés). Observar que basta indicar los 14 primeros, pues el de la posición 15 no tiene arista (es el opuesto), y del 16 al 29 se repite la combinación al revés, por simetría. Así,  por ejemplo, en la fase 5, uniremos los vértices en las posiciones en las que aparezca el color 5, que son la 2, 5, 7, 9, 11, 12 y 14 posición. Saber esto facilita mucho el trabajo, por si alguien se anima a repetirlo. Se puede tardar unas 10 horas sin pausa, aunque le verdad es que merece la pena pararse y contemplar cada una de las fases.

Primera fase (azul=1):    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Segunda fase (naranja=2):  1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2

Tercera fase (verde=3):  1 2 3 3 3 2 1 3 3 3 3 1 3 3

Cuarta fase (rosa=4):  3 2 1 4 4 1 4 4 4 1 2 4 4 4

Quinta fase (azul claro=5): 1 5 2 4 5 1 5 3 5 2 5 5 1 5

Sexta fase (rojo=6):  4 1 3 6 6 3 1 6 6 1 2 4 6 6

Séptima fase (amarillo=7):  3 2 7 1 7 3 2 7 7 2 7 1 3 7

Última fase (color violeta=8):  1 5 7 4 8 2 5 8 3 1 2 4 7 8

Más fotos  de su construcción:

Alguna información más sobre E8:

Daremos solo algunos datos básicos, sin entrar en la teoría de grupos de Lie, ni la aplicaciones importantes que tiene el grupo de Lie asociado, E8, en una propuesta para la teoría del todo en Física matemática.

El politopo E8 vive en el espacio 8-dimensional \rm R^8.  La figura que hemos construido con hilos es una proyección sobre el llamado plano de Coxeter, un plano en el que se ven los 240 vértices y se aprecia una simetría rotacional de orden 30.

Los 240 vértices son, por un lado, de la forma (\pm 1,\pm 1,0,0,0,0,0,0) y todas sus permutaciones, en total 4 \times \left(\stackrel{8}{2}\right) = 112,  y, por otro lado, de la forma (\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2) con un número par de coordenadas negativas, lo que da 2^8/ 2 =128 .

Cada vértice está unido a los otros 56 más cercanos, situados a distancia \sqrt 2, lo que da 56 \times 240 /2 = 6720 aristas. En la proyección sobre el plano de Coxeter, muchas de estas aristas se solapan con otras. Por ejemplo, podéis observar que de cada vértice de la corona exterior salen 28 aristas. En breve colgaremos un programa de Mathematica para dibujarlas.

Todos los vértices viven en la esfera 7-dimensional de radio \sqrt 2, definida por la ecuación

x_1^2+ x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2=2

Si en cada uno de los 240 vértices centramos otra esfera 7-dimensional de radio \sqrt 2/2 obtenemos una configuración que da la solución al llamado “kissing number” en dimensión 8:  Es decir, 240  es el mayor número de esferas que podemos colocar “besando” o siendo tangente a una central.  Por otro lado, el retículo que genera esta configuración en R^8 proporciona también el empaquetamiento (o apilamiento) más denso de esferas.

Apilamiento más denso de 2-esferas. Fuente: wikipedia

Algunos enlaces y referencias:

“Regular polytopes” by H.S.M. Coxeter (1973).

Más sobre el  politopo E8, en wikipedia.

Sobre el grupo de Lie excepcional E8, en wikipedia.

Sobre planos de Coxeter en la página de  John Stembridge.

Cien años de E8, por Jaume Aguadé. Aquí explica, entre otras muchas cosas, como usar el retículo de E8 para enviar información empaquetada de forma eficiente, a través de un modem, por ejemplo. Podéis leer también el artículo ampliado en catalán.

Sobre empaquetamiento de esferas, en wikipedia.

Atlas de grupos de Lie y sus representaciones

(Faltan muchos más enlaces)

27 comentarios to "Hilorama de E8"

Maravilloso, maravilloso,… ¡¡qué preciosidad!!
Enhorabuena Jose Luis y felicita a tus alumn s por el trabajazo tan bonito que se han currado.
Salu2 Joaquín

Ola Jose Luís:
¡Felicitacións por conseguir esas “maraavillas” cos teus “rapaces”
Eso seguro que lles da máis capacidade de concentración a eles memos e sentiranse orgullosos do seu profesor…
¡Noraboa! outra vez.
¿Poderemos falar un chisco contigo na nos humilde emisión de radio “Sempre en Galicia”? Algunha fin de semana que non teñas moi ocupada e cóntasnos a túas experiecias cos alumnos…

Muchas gracias Xulio, me alegro que te guste, le transmitiré tu felicitación sincera a mis alumnos. Ya quedamos para hablar. Saludos, José Luis

Gracias Joaquín, creo que han disfrutado con el trabajo… a ver si podemos repetirlo en Sevilla en la feria de la ciencia el próximo mayo. Saludos, José Luis

He ampliado un poco más la información sobre E8, podéis encontrar mucha más en internet.

[…] se explica de manera impecable en Hilorama de E8 (página de Juegos Topológicos), este politopo vive en un espacio de dimensión 8 y la […]

[…] Elegida imagen del mes en Divulgamat (15-11-2010) Portada en Matematicalia y ZTFnews (14-11-2010) Presentado en la X Semana de la Ciencia de la UAL (15-11-2010) Presentado en el XVII Encuentro de Topología (25-11-2010) En la entrada anterior hemos mostrado una pequeña selección de po … Read More […]

[…] in Spanish high school you do awesome crap like threading the E8 root system. Posted by tha docter at 5:44 […]

Genial.
Me encantaría intentar hacerlo pero soy un ignorante matemático y no me entero con las indicaciones que das.
¿podrías escribir la secuendia de vértices por los que va pasando el hilo?
Un saludo.
Ramón.

hola buena tarde, hay alguna oportunidad que des las instrucciones de construcción del hilorama e8, y las conecciones en cada una de sus etapas. gracias saludos

rodrigo de la fuente

[…] Politopos con hilos, politopo E8. […]

[…] Here you can see them together, I hope you like the comparaison. Source: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Imam_Mosque,_Esfahan_(2).jpg Source: Hilorama de E8 […]

[…] Politopo E8 y variante (que no falte esta preciosidad que fascina tanto a los chavales, …). […]

[…] Hoy han publicado la lista de obras seleccionadas para la exhibición de arte y nos alegra comunicar que nuestro politopo E8, con hilos, ha sido seleccionado. Así que exhibiremos con orgullo e ilusión nuestra obra, en la que, recuerdo, han participado varios de mis alumnos y alumnas y colegas. Una vez más, gracias a todos los que colaboraron (podéis ver más fotos aquí). […]

[…] were glad to attend the conference, present our Polytope E8 with strings, and our game 3D […]

Excelente, una maravillosa forma de hacer art´tistica la hora de matemática, mis alumnos lo disfrutan, gracias
Shirley M. de zevallos

impresionante me encantaria aprender!!!! felicitaciones esta hermosisimo! saludes desde costa rica

Un trabajo impresionante, muy admirado por todos mis estudiantes a quienes les agradó muchísimo, saludos desde ilave – Perú

[…] J.L. Rodríguez Blancas, Hilorama de E8, blogpost, October 10, […]

Hola!! Quiero hacer esto mismo en mi casa pero no entiendo a que se refiere la combinación de 14 números de debajo denlas fotos!! Me puedes ayudar? Saludos desde chile!

Está explicado en el texto, cuando empieza “Nuestra construcción con hilos”. Se indica eso para que dos aristas no se repitan.

Wow, wow, wow. Art and science in perfect harmony. Hand made mathematics. 9,18,99,432. Anyone who is a fan of Tesla, Hutchison, Rodin, Plato, Pythagoras, Edison, Einstein, this is for you too.

Estoy impresionodo con este politopo y me gustaría intentar hacerlo, pero lo que no sé ni he conseguido informacion es de como poner los alfileres, es decir, donde se hace los vertices para ir uniendolos con hilos. Se que son 30 puntos por cada corona (circulo) y son 8.
Pero estos 240 vertices (alfileres) como se dispone.
Saludos desde españa!!

Gracias por el consejo. Saludos

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