Hilorama de E8

PROHIBIDA CUALQUIER REPRODUCCIÓN O DIFUSIÓN PARCIAL O TOTAL DE ESTA ENTRADA EN CUALQUIER SOPORTE, SIN PERMISO EXPRESO DEL AUTOR.

Elegida imagen del mes en Divulgamat (15-11-2010)

Portada en Matematicalia y ZTFnews (14-11-2010)

Presentado en la X Semana de la Ciencia de la UAL (15-11-2010)

Presentado en el XVII Encuentro de Topología (25-11-2010)

Imagen incluida en la entrada sobre E8 en Wikipedia (27-11-2010)

Presentado en la IX Feria de la Ciencia de Sevilla (13-5-2011)

Exposición virtual en Divulgamat (23-9-2011)

Mathematical Art Exhibition Bridge 2013 (July 27-31, 2013)

Makezine and  Momath column (August 12, 2013)

(NEW PICTURES) Imaginary, Open Mathematics (December, 2013)

Descárgate el póster del hilorama de E8

Sistema de raíces del grupo de Lie excepcional E8, construido con hilos de colores

En la entrada anterior hemos mostrado una pequeña selección de politopos con hilo tensado. Esta entrada la queremos dedicar a E8.

Fue Peter McMullen quien hacia 1960 dibujó a mano esta maravillosa representación del politopo de Gosset 4_21 (descrito en 1900). Se le nombra a menudo también como politopo E8 por tener como vértices el sistema de raíces del grupo de Lie excepcional E8. Más recientemente,  John Stembridge dio la primera imagen por ordenador, de donde nos hemos inspirado para reproducirlo aquí con hilos de colores.

Este politopo vive en un espacio de 8 dimensiones. Su 1-esqueleto consta de 240 vértices y 6720 aristas, aunque no todas se ven en la figura plana pues se solapan unas con otras (al final del artículo damos más detalles).  Para visualizar este tipo de objetos multidimensionales se suele estudiar sus proyecciones planas. La que aquí mostramos es sin duda una de la más bellas pues se ven todos los vértices. Se distribuyen en 8 coronas concéntricas de 30 vértices cada una,  donde los vértices de cada corona están conectados entre sí por lineas rectas, excepto los diametralmente opuestos.

Nuestra construcción con hilos:

A continuación ilustramos una a una las 8 fases de su construcción con hilos de colores. Bajo la imagen de cada foto encontraréis una combinación de 14 números, donde cada número del 1 al 8 indica un color distinto. La combinación nos indica el color de las aristas que concurren en un vértice al conectarse con el resto de vértices de su corona, cuando las recorremos en sentido de las agujas del reloj (o al revés). Observar que basta indicar los 14 primeros, pues el de la posición 15 no tiene arista (es el opuesto), y del 16 al 29 se repite la combinación al revés, por simetría. Así,  por ejemplo, en la fase 5, uniremos los vértices en las posiciones en las que aparezca el color 5, que son la 2, 5, 7, 9, 11, 12 y 14 posición. Saber esto facilita mucho el trabajo, por si alguien se anima a repetirlo. Se puede tardar unas 10 horas sin pausa, aunque le verdad es que merece la pena pararse y contemplar cada una de las fases.

Primera fase (azul=1):    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Segunda fase (naranja=2):  1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2

Tercera fase (verde=3):  1 2 3 3 3 2 1 3 3 3 3 1 3 3

Cuarta fase (rosa=4):  3 2 1 4 4 1 4 4 4 1 2 4 4 4

Quinta fase (azul claro=5): 1 5 2 4 5 1 5 3 5 2 5 5 1 5

Sexta fase (rojo=6):  4 1 3 6 6 3 1 6 6 1 2 4 6 6

Séptima fase (amarillo=7):  3 2 7 1 7 3 2 7 7 2 7 1 3 7

Última fase (color violeta=8):  1 5 7 4 8 2 5 8 3 1 2 4 7 8

Más fotos  de su construcción:

Preciosa imagen de E8 (Foto: Juan Guzmán)

Los 240 vértices

Macarena tiene el honor de comenzar

Cristian y Dolores ayudando a Macarena. Nuestro objetivo en primer plano

Turno de Cristian

Ahora le toca a Dolores

Manolo también se anima

Concluida la primera fase

Concluida la segunda fase

Tercera fase

Cuarta fase terminada

Cuarta fase terminada

Ana y Asun con la 5ª fase

Quinta fase

Sexta fase

Séptima fase completada

Última fase completada

Última fase

Alguna información más sobre E8:

Daremos solo algunos datos básicos, sin entrar en la teoría de grupos de Lie, ni la aplicaciones importantes que tiene el grupo de Lie asociado, E8, en una propuesta para la teoría del todo en Física matemática.

El politopo E8 vive en el espacio 8-dimensional .  La figura que hemos construido con hilos es una proyección sobre el llamado plano de Coxeter, un plano en el que se ven los 240 vértices y se aprecia una simetría rotacional de orden 30.

Los 240 vértices son, por un lado, de la forma y todas sus permutaciones, en total ,  y, por otro lado, de la forma con un número par de coordenadas negativas, lo que da .

Cada vértice está unido a los otros 56 más cercanos, situados a distancia , lo que da aristas. En la proyección sobre el plano de Coxeter, muchas de estas aristas se solapan con otras. Por ejemplo, podéis observar que de cada vértice de la corona exterior salen 28 aristas. En breve colgaremos un programa de Mathematica para dibujarlas.

Todos los vértices viven en la esfera 7-dimensional de radio , definida por la ecuación

Si en cada uno de los 240 vértices centramos otra esfera 7-dimensional de radio obtenemos una configuración que da la solución al llamado «kissing number» en dimensión 8:  Es decir, 240  es el mayor número de esferas que podemos colocar «besando» o siendo tangente a una central.  Por otro lado, el retículo que genera esta configuración en proporciona también el empaquetamiento (o apilamiento) más denso de esferas.

Apilamiento más denso de 2-esferas. Fuente: wikipedia

Algunos enlaces y referencias:

«Regular polytopes» by H.S.M. Coxeter (1973).

Más sobre el  politopo E8, en wikipedia.

Sobre el grupo de Lie excepcional E8, en wikipedia.

Sobre planos de Coxeter en la página de  John Stembridge.

Cien años de E8, por Jaume Aguadé. Aquí explica, entre otras muchas cosas, como usar el retículo de E8 para enviar información empaquetada de forma eficiente, a través de un modem, por ejemplo. Podéis leer también el artículo ampliado en catalán.

Sobre empaquetamiento de esferas, en wikipedia.

Atlas de grupos de Lie y sus representaciones

(Faltan muchos más enlaces)