Hilos, pompas y el problema isoperimétrico

Os propongo en esta entrada unos experimentos impactantes que me ha sugerido Rafael López, de la Universidad de Granada. Versión imprimible publicada en la revista Xurdimento en febrero de 2010.

Fijamos los extremos de un hilo a un aro de alambre e introducimos todo en un recipiente con agua jabonosa (para que aguanten más tiempo las pompas se puede añadir un poco de azúcar o glicerina líquida disponible en farmacias). Justo a continuación, pinchamos en el interior de la curva que ha formado el hilo. ¿Qué creéis que pasará?

Pues tal y como muestra el video, ¡se formará instantáneamente un arco de circunferencia! Observaréis también que el arco varía a medida que alejamos o acercamos los dos extremos. Por cierto, una pregunta para los amantes de la geometría, ¿podríais calcular el radio de dicho arco?, ¿y el ángulo que forma el hilo con el borde de alambre? Podéis suponer que el alambre está recto. Eso no afecta.

¿Qué pasará ahora si aflojamos un poco los nudos de los extremos, permitiendo que corran con libertad por el alambre?

Pues en este caso, el hilo formará un ángulo recto con el alambre en cada uno de sus dos extremos. En particular, si el alambre no está curvado, el hilo formará exactamente media circunferencia, tal como sale en la Foto del video anterior. Esto tenéis que hacerlo en casa, ¡es realmente curioso!

Por último, soltamos el hilo del alambre, lo anudamos para cerrarlo, y lo posamos con cuidado sobre una lámina de jabón, intentando que el hilo encierre un solo hueco (normalmente se superenrolla como el cable de un teléfono fijo y se forma una figura ocho). En este caso, al pinchar en su interior se formará una circunferencia perfecta, que podremos arrastrar libremente por toda la lámina, e incluso pasar la mano al otro lado de la pompa a través del hueco. Si no os lo creéis, podéis ver en el siguiente video:

Este tipo de experimentos están relacionados con el problema isoperimétrico del plano, que como indica la palabra, es un problema que consiste en hallar de entre todas las curvas del plano que tienen el mismo perímetro, aquélla que encierra mayor área. Esta curva es la circunferencia, la curva perfecta para los antiguos griegos. En nuestro caso, la lámina de jabón que queda entre el alambre y el hilo tiende a poseer mínima área (por la propia naturaleza de las pompas). Esto obliga a que el área que queda en el interior del hilo sea por tanto máxima, formándose así una circunferencia al instante.

Estudios similares con pompas de jabón y otros fluidos, con restricciones de contorno, tienen aplicaciones en numerosos ámbitos donde se busca minimizar recursos. Por ejemplo, la cubierta del estadio olímpico de Munich (1972) fue diseñada con pompas de jabón, y una estructura de postes y cuerdas colgantes.

Con este diseño, no solo se consiguió originalidad y belleza sino también el ahorro de materiales, y con ello, un menor peso para la cubierta, resultando así más estable.