Mosaicos arabescos con cuerdas

Desde que visité el Alcázar de Sevilla el año pasado, durante el XVIII Encuentro de Topología, tenía ganas de reproducir alguno de los bonitos entramados de cuerdas (o lacerías) que aparecen en alicatados de los pasillos. Uno de los que más me gustaron (y realizables) fue el que os muestro a continuación, que aparece en el Patio de las Doncellas, y que seguro os es familiar:

Y heme aquí, liado desde el pasado viernes  con una tabla, martillo, clavos e hilos de colores, para intentar reproducir este mosaico, o al menos alguno inspirado en éste. Durante estos días de carnaval de matemáticas os iré contando en directo cómo voy montando el mosaico, por si os animáis a montar el vuestro.

Día 1:

En una tabla (puede ser corcho y alfileres) marcáis una trama de triángulos equiláteros, y alrededor de los vértices formáis estrellas de 6 y 12 puntas, que serán las que fuercen los giros de las cuerdas (no vamos a formar las estrellas de 8 puntas por ahora). Podéis usar la propia foto del mosaico como guía.

Debéis fijaros en la orientación de las estrellas, y en que  la distancia entre las puntas 1ª y 3ª de la estrella de 6 puntas coincide con la distancia entre las puntas 1ª y 4ª de la estrella de 12 puntas, tal y como se refleja en la siguiente imagen:

Detalle de la estrella de 12 puntas, junto a lo que será la estrella de 6 puntas.

Podéis hacer todo con hilo de un mismo color, pero este mosaico, al ser el primero, lo haremos con varios colores para que se aprecien mejor todos los enlaces.

Os dejo una foto del primer día de trabajo (podéis pulsar sobre la foto para ampliarla):

Cada hexágono de color es un nudo de trébol. Hexágonos colindantes están enlazados.

Día 2:

Nos quedamos ayer en que dos nudos de trébol colindantes están entrelazados. Ésta es la disposición que tendrían dos de ellos si los sacásemos fuera de los clavos.

El número de enlace entre dos nudos es un invariante sencillo de calcular que nos va a indicar el grado de enrollamiento que tiene uno con respecto al otro. Para calcularlo orientamos los nudos, y en cada cruce que se produzca entre ellos ponemos + o – según el criterio que indicamos en la foto. Los sumamos y dividimos por 2. En nuestro caso, el resultado es 1.

Seguimos colocando clavos y los nudos de trébol, con forma hexagonal. Ayer no lo dije, pero para cerrar los nudos, usamos el nudo corredizo, que nos permitirá al final ajustarlos bien. Ya veremos donde escondemos esos hilos que sobran, de momento, aunque afeen la figura, los dejaremos por si hubiera que deshacer alguno.

Hemos llegado al borde de la tabla y parece que se quedan algunos hexágonos medio vacíos. Mañana pensaremos cómo podemos apurar el mosaico hasta el borde.

Día 3:

Hoy ha tocado la parte más delicada, pues queríamos apurar el mosaico hasta el borde. Por supuestso, se podría haber quedado así con el contorno hexagonal:

En el espacio que nos ha quedado en este borde hemos colocado clavos en los puntos donde  se cruzan las cuerdas entorno a las estrellas de 12 puntas:

En el otro borde, que no había espacio suficiente,  hemos colocado clavos para sujetar las cuerdas de forma que se respete el diseño del mosaico:

Mañana colocaremos los hexágonos (nudos triviales) que rodean a las estrellas de 12 puntas, esto hará que se marquen las estrellas de 6 puntas y se aprecien ya las teselas hexagonales del mosaico. He colocado ya algunos para que veáis cómo va a quedar:

Día 4:

Al final de la tarde conseguimos por fin completar todo el mosaico con los hexágonos de color granate. El hilo debe rodear a todas las estrellas de 12 puntas, pasando alternádamente por encima y por debajo de los hilos que salen de dichas estrellas. Mi hija Sara también estuvo ayudando en la tarea:

Lo que ahora falta es esconder los hilos sobrantes y enmarcarlo tapando lo que no queramos que se vea.  Mañana haré unas fotos más con la luz natural del día…

Sacados de los clavos, los 6 nudos de trébol que hay entorno a cada estrella de 12 puntas tienen el siguiente aspecto:

El nudo trivial (hexagonal) que hemos añadido entrelaza a los 6 nudos de trébol de la siguiente manera:

… y corriéndolo un poco hacia el centro apreciamos mejor el tipo de enlace

¿Alguien sabe cómo calcular el  invariante de Milnor de este enlace? ¡Su aportación será bienvenida.

Día 5:

Sesión de fotos con los rayos del Sol, sombras y colores vivos.

Día 6:

Hemos recortado estrellas de fieltro  de 6 y de 12 puntas para tapar esos hilos sombrantes. Cada hexágono tiene ahora en su centro una estrella del mismo color, apreciándose así mejor la simetría entre los colores.

Día 7:

Como estáis viendo, las posibles de decorar este tipo de mosaicos son infinitas, podríamos dejarlo así, o continuar añadiendo pequeñas teselitas en los huecos que quedan entre los hilos o parte de ellos, aquí es donde entra la imaginación de cada uno, y que os animo encarecidamente a que lo intentéis, no os arrepentiréis, es realmente apasionante trabajar el entrelazado de los nudos, la colocación de las baldosas.  Creo que puedo revivir el placer que sintieron los que diseñaron y plasmaron este tipo de mosaicos arabescos en las paredes de la Alhambra de Granada, el Alcázar de Sevilla y otros edificios emblemáticos.

Quiero culminar esta entrada, y con ella desearos un buen verano, con las últimas fotos (espero) de nuestro primer mosaico arabesco, en el que ha participado toda la familia con mucha ilusión y fascinación, y que por ello os auguro un gran éxito en las aulas de matemáticas con vuestros alumnos.

Esta actividad ha participado día a día en la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Scientia.