Superficies topológicas en el arte

Las matemáticas y el arte van unidas de la mano. En concreto, la topología de superficies, se ve representada en fantásticas esculturas de metal, madera, mármol, etc…

Añadido el 15 de febrero: charla en la Universidad de Murcia

La mirada de un topólogo en Dartmouth

Cuando un topólogo observa una superficie, lo primero que comprueba — además de apreciar su belleza, claro — es si contiene una cinta de Moebius o no. En caso de que sí, se tratará de una superficie con una sola cara, y por tanto NO orientable. Lo siguiente es contar el número r de componentes del borde. Recordemos que cada superficie tiene una topología que puede determinarse, gracias al teorema de clasificación de superficies (puede consultarse también esta entrada).

Observa bien la siguiente escultura titulada «D2d» del famoso escultor y arquitecto americano Charles O. Perry (1929-2011). La verdad es que desconozco por qué se llama así; quizá algún físico o químico pueda aclararlo. Parece ser que la bautizaron así unos estudiantes de química de Dartmouth, según explica esta reseña. Sus curvas y simetría son realmente hipnotizadoras. Y dicho esto, ¿sabéis ya si la superficie es orientable o no? ¿cuántas componentes tiene el borde? Sigue leyendo para averiguarlo.

D2d-Chrales-o-Perry — D2d de Charles O. Perry. Dartmouth College. Hanover, NH, USA, Bronze, 10 pies. 1975. Créditos foto: vista en google maps

Pues la respuesta es que no tiene cintas de Moebius, por tanto es orientable, tiene dos caras. El borde consta de 4 circunferencias perfectas, ¿las véis? Así que en este caso, r=4.

Para terminar de clasificarla, debemos calcular su género g. Un método efectivo es calcular previamente su característica de Euler, a partir de una triangulación o parcelación de la misma (véase cómo hacerlo por ejemplo en Juego con tiras de papel o Superficies de gomaespuma y la cuártica de Klein).

Una vez que tengamos X, r, y la orientabilidad, podremos conocer g sabiendo que X = 2-2g-r, si es orientable, o X=2-g-r, si no lo es. Lo dejamos aquí de momento, pues encontrar una parcelación a partir de la foto parece complicado en este caso. No estamos allí para verla bien. Por ello, hemos hecho una reproducción en plastilina para entenderla mejor. Después veremos el resultado.

Rinus Roelofs y su Moebiustorus

Plantear este tipo de problemas en la carrera de Matemáticas me parece una idea estupenda. El curso pasado propuse a mis alumnos de topología, por cierto en un examen, clasificar esta otra superficie llamada «Moebiustorus» de Rinus Roelofs.

Vemos que consiste en medio toro al que se le han unido tres cintas de Moebius. ¿Sabríais determinar qué superficie topológica es?

Tripartity unity vista por Ton Marar

En el último congreso de la RSME, celebrado en Santiago de Compostela, la semana pasada, coincidí con Ton Marar, matemático de la Universidad de San Paulo, y me mostró el siguiente vídeo que acababan de enviarle, donde demuestra que la suma conexa P^2 # T^2 de un plano proyectivo, con un toro, es la suma conexa P^2# P^2 # P^2 de tres planos proyectivos. Lo demuestra en una pizarra gigante que está expuesta en el museo de su ciudad. Realmente fantástico que una prueba matemática como ésta, aparezca expuesta en un museo de arte, ¿no os parece?

En la prueba aparece un toro con un agujero– que Ton bautiza como toro de Francis– al que adjuntándole una cinta de Moebius, da como resultado la suma conexa de 3 planos proyectivos con un agujero.

slide0017_image002 — Fuente: «A Topological Picturebook: George K. Francis. 1978

En la última imagen se ve fácilmente la partición en 3 cintas de Moebius. Si no lo veis claro, podéis comprobarlo recortando este modelo de goma eva (puede hacerse en papel también):

Modelo recortable comprobar el experimento de Francis,

Unir los extremos según indica la imagen.

La superficie resultante es una suma conexa de tres planos proyectivos con 1 agujero, que puede comprobarse al cortarla en 3 cintas de Moebius

En «Proyective planes and the tripartity unit» Ton Marar relaciona esta figura del libro de Francis, con la escultura «Tripartity Unity» de Max Bill, obra que por cierto recibió el primer premio, de la bienal de arte del museo de São Paulo en 1951.

¿El secreto de D2d de Charles O. Perry?

Bien, volvamos a la escultura D2d de Perry. Quería presentar algo original en este carnaval, y creo que la siguiente descripción topológica lo es. En un pequeño vídeo (grabado hoy en Abla, un precioso pueblo de Sierra Nevada) mostramos que la topología de D2d, es una esfera con 4 agujeros, o sea g=0. No sé si aquellos alumnos de química de Dartmouth, que hemos mencionado al principio, conocían esto, pero casi seguro que el autor concibió su escultura así.

Observar la obra de Perry es sumergirse en un mundo misterioso, profundo, eterno. Es lo que siento al ver sus obras (pulsar sobre la imagen para verlas). No es de extrañar que fuera elegida primera exposición virtual en Divulgamat en febrero de 2004.

Estoy también contento, porque no conocía ninguna referencia de las superficies que construímos con goma eva, en Nudos invisibles, y he visto que, por ejemplo, Gordian Knot, Infinity y Zero son de ese estilo, poseen el nudo o enlace en la parte interna. Ojalá supiese esculpir el bronce para construirlas.

Esto no acaba aquí…

Ésta es una introducción a todo el trabajo que se podría hacer con esculturas de superficies, estudiándolas con plastilina, goma eva o papel, y se podrían presentar más transformaciones en vídeos. Me parece que estas actividades se adaptarían incluso fácilmente a un nivel de secundaria. Y por supuesto, se podría probar también con otras esculturas de superficies topológicas de otros artistas famosos (ver Referencias).

Las superficies no dejarán nunca de sorprendernos y, por eso, seguiremos en este blog incluyendo entradas sobre ellas.