El «plano proyectivo» es a grosso modo una superficie (no necesariamente plana) sobre la que se proyectan los rayos que salen de un foco puntual. La definición precisa es independiente de la superficie sobre la que proyectemos:
P 2 = {rectas de R 3 que pasan por el origen (0,0,0)}.
Para imaginarnos qué aspecto topológico tiene el plano proyectivo, vamos a considerar que sus puntos, es decir las rectas que pasan por el origen, son como «pivotes». Vamos a tomar uno de estos pivotes e imaginarnos que se mueve. Así es como se describe el plano proyectivo en el famoso video de Ronnie Brown que veremos en un momento.
Un pivote viene determinado por un par de puntos antipodales de la esfera. A su vez este par de puntos está determinado por tan solo un punto en el hemisferio sur, mientras que en el ecuador el pivote sigue estando determinado por dos puntos diametralmente opuestos (mira la imagen más abajo).
En el video vemos como el plano proyectivo se transforma en la unión de una cinta de Möbius y un disco que están pegados a lo largo de sus bordes correspondientes.
Podéis encontrar explicaciones detalladas sobre el video en la página de Ronnie Brown The Möbius band and the projective plane (véase una traducción mía).
En un paso intermedio de la transformación hemos visto la forma más conocida del plano proyectivo: el hemisferio sur (que es una vez aplanado un círculo) con los puntos del borde diametralmente opuestos identificados.
Recuerdo una vez que cogí un pedazo de tela en forma de círculo, e intenté coser los puntos opuestos o antipodales del borde. Fue divertido, pero por supuesto, no conseguí llegar al final. Hay un momento que para conseguirlo, la tela debería atravesarse a sí misma, ¡cosa que es imposible! Tampoco conseguí coser un disco de tela a lo largo de una cinta de Möbius. La verdad es que con estos modelos no se puede realizar este cosido, pues el borde de una cinta de Möbius normal está «liado». Podemos remediar este obstáculo transformando la cinta de Möbius (sin cambiar su topología, claro) de modo que el borde no esté liado. La solución está en considerar una cinta de Möbius en forma de «bonete cruzado», observar que ahora tiene el agujero por abajo, y el borde no está liado como antes:
Ejercicio: Probar que este bonete cruzado es una cinta de Möbius. (Ayuda: usar tijeras y pegamento).
Observar que el camino «a» seguido de «b» en la figura es un camino cerrado en la cinta de Möbius.
La ventaja de esta representación de la cinta de Möbius es que el borde es una circunferencia sin cruces, por donde podemos coser ahora un disco. Al coser el disco obtenemos la superficie famosa conocida como el «bonete cruzado» (con el agujero de abajo ahora ya tapado) construida por Jacob Steiner en 1853.
Veremos más sobre superficies de Steiner en otra entrada.
Enlaces relacionados:
La cinta de Möbius y el plano proyectivo en la página de Robert Ferréol. Y otras informaciones útiles sobre el toro y la botella de Klein (además trata otras superficies y curvas interesantes).
Möbius strip, Klein bottle de la página de Zbigniew Fiederorwicz.
Mathematics in Robinson’s sculptures, esculturas basadas en la cinta de Möbius y otros figuras, realmente fantásticas.
Geometría proyectiva, una exposición: en la Universidad Complutense de Madrid, 1999.
Podéis también ver este video sobre el plano proyectivo:
Virtual and manipulative geometrical and topological games 
One reply to “El plano proyectivo visto como un disco y una cinta de Möbius cosidos por su borde”